Mostre que
integral-L^L sin n pi xL sin m pi xL d x=cccL & se & n=m >= 1 0 & se & n neq m, m, n >= 1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a ortogonalidade das funções
sinnpi xL e sinmpi xL no intervalo [-L,L], ou seja, que
integral-L^Lsinnpi xL,sinmpi xL,dx = L,&n=m>=1, 0,&nneq m,;m,n>=1
O conteúdo principal é usar a identidade produto-para-soma de funções trigonométricas e depois integrar cossenos.

Passo 2

Aplicamos a identidade
sin A,sin B =tfrac12l[cos(A-B)-cos(A+B)r]
com
A=npi xL, B=mpi xL
Logo
sinnpi xL,sinmpi xL =tfrac12l[cos(n-m)pi xL-cos(n+m)pi xLr]

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral-L^Lsinnpi xL,sinmpi xL,dx =tfrac12 integral-L^Lcos(n-m)pi xL,dx -tfrac12 integral-L^Lcos(n+m)pi xL,dx

Passo 4

Para kneq0 valendo inteiro,
integral-L^Lcoskpi xL,dx =[Lkpisinkpi xL]-L^L =Lkpil(sin(kpi)-sin(-kpi)r) =0,
pois sin(kpi)=0. Se k=0, então cos(0cdot x)=1 e
integral-L^L1,dx=2L

Passo 5

Na nossa decomposição temos dois casos para o primeiro integrando:
  • Se nneq m, então (n-m)neq0 e (n+m)neq0, logo ambos os integrais de cosseno são zero e a integral total é
tfrac12(0-0)=0
  • Se n=m, então (n-m)=0 e (n+m)=2nneq0. Assim
integral-L^Lcos(n-m)pi xL,dx =integral-L^L1,dx=2L,
integral-L^Lcos(n+m)pi xL,dx=0
Logo a integral original vale
tfrac12l(2L-0r)=L

Resposta

integral-L^Lsinnpi xL,sinmpi xL,dx = L,&n=m>=1, 0,&nneq m,;m,n>=1

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