Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a ortogonalidade das funções
sinnpi xL e
sinmpi xL no intervalo
[-L,L] , ou seja, que
O conteúdo principal é usar a identidade produto-para-soma de funções trigonométricas e depois integrar cossenos.
Passo 2
Aplicamos a identidade
com
Logo
Passo 3
Substituindo na integral original, temos
Passo 4
Para
kneq0 valendo inteiro,
pois
sin(kpi)=0 . Se
k=0 , então
cos(0cdot x)=1 e
Passo 5
Na nossa decomposição temos dois casos para o primeiro integrando:
- Se
, entãonneq m e(n-m)neq0 , logo ambos os integrais de cosseno são zero e a integral total é(n+m)neq0
- Se
, entãon=m e(n-m)=0 . Assim(n+m)=2nneq0
Logo a integral original vale