Q 35 Por uma mudança de variável racionalizante, determine as seguintes integrais de funções racionais:
integral x+3x(x-2 raizx+3) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x+3xl(x-2raizx+3r),dx
usando uma mudança de variável racionalizante. O conteúdo é integração de funções racionais que envolvem raizx. Vamos usar a substituição
t = raizx,
para eliminar a raiz, expressar tudo em função de t, fazer frações parciais e depois integrar.

Passo 2

Fazendo t=raizx temos x=t^2 e dx=2t,dt. Substituindo na integral,
x+3x(x-2raizx+3),dx = t^2+3t^2l(t^2-2t+3r);2t,dt = 2,t^2+3tl(t^2-2t+3r),dt

Passo 3

Para decompor em frações parciais, escrevemos
2(t^2+3)t(t^2-2t+3) = At + Bt+Ct^2-2t+3
Multiplicando por t(t^2-2t+3) e igualando coeficientes:
2(t^2+3) = A(t^2-2t+3) + (Bt+C),t = (A+B)t^2 +(-2A+C)t +3A
Igualando coeficientes:
A+B=2, -2A+C=0, 3A=6
de onde A=2, B=0, C=4.

Passo 4

Substituindo na integral, fica
integral!l(2t + 4t^2-2t+3r),dt = integral 2t,dt + integral 4t^2-2t+3,dt
A primeira parte é
integral 2t,dt = 2ln|t|
Na segunda, completamos o quadrado no denominador:
t^2-2t+3 = (t-1)^2 +2,
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integral 4(t-1)^2+2,dt = 4integral 1(t-1)^2+(raiz2)^2,dt = 4raiz2arctan!l(t-1raiz2r) =2raiz2,arctan!l(t-1raiz2r)

Passo 5

Somando e voltando a x com t=raizx:
2ln|t| + 2raiz2,arctan!l(t-1raiz2r) + C = ln|x| + 2raiz2,arctan!l(raizx-1raiz2r) + C

Resposta

integral x+3x(x-2raizx+3),dx = ln|x| ;+; 2raiz2,arctan!l(raizx-1raiz2r) + C

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