Se uma função F(x, y) satisfaz a condição
F(t x, t y)=F(x, y)
dizemos que F(x, y) é homogênea de grau 0 . Neste caso a equação diferencial y^prime= F(x, y) se reduz à uma equação separável pela substitução
z=z(x)=yx , y^prime=x z^prime+z
Use este método para resolver
(b) y^2 d x+(x^2-x y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y^2,dx + l(x^2 - x yr),dy = 0
usando o fato de que a função
F(x,y)=dydx=-y^2x^2-x y
é homogênea de grau 0. O método envolve a substituição
z=yx, y=xz, y'=x,z'+z,
reduzindo tudo a uma equação separável em z e x.

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação em forma explícita de y'. Dividindo por dx:
y^2 + l(x^2-xyr),y'=0 Longrightarrow y'=-y^2x^2-x y
Como numerador e denominador têm grau 2, F é homogênea de grau 0.

Passo 3

Fazemos a troca de variável
z=yx Longrightarrow y=xz e y'=x,z'+z
Substituindo em y'=-y^2x^2-xy obtemos
x,z'+z =-(xz)^2x^2-x,(xz) =-x^2z^2x^2(1-z) =-z^21-z

Passo 4

Isolamos z':
x,z' =-z^21-z-z =-z^2-z(1-z)1-z =-z1-z,
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z'=-zx,(1-z)

Passo 5

A equação em z e x é separável:
1-zz,dz =-1x,dx
Integramos ambos os lados:
integrall(1z-1r)dz =-integraldxx Longrightarrow ln|z|-z = -ln|x| + C

Passo 6

Voltando a y, temos z=y/x, então
ln!l|tfracyxr|- yx =-ln|x|+C Longrightarrow ln|y|-yx=C

Resposta

ln|y| - yx = C (constante arbitrária C).

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