Encontre as séries de Fourier das funções periódicas de período
a seguir:
Passo 1
O enunciado define uma função periódica de período
2pi dada por
e pede a expansão em série de Fourier da forma
onde
Passo 2
Primeiro calculamos
Aqui
e
integral0^pi1,dx=pi . Logo
Passo 3
Agora
an=1pil(I1+I2r) , com
Para
I1 usamos
integral xcos(nx),dx =xsin(nx)n+cos(nx)n^2
e
integralcos(nx),dx=sin(nx)n .
Assim
e
Assim
E
Portanto
Passo 4
De modo análogo
com
Usando
integral xsin(nx),dx =-xcos(nx)n+sin(nx)n^2
e
integralsin(nx),dx=-cos(nx)n ,
obtemos
e
obtemos
e
Somando
logo
Passo 5
Juntando tudo, a série de Fourier fica
onde