Encontre as séries de Fourier das funções periódicas de período 2 pi a seguir:
f(x)=ccc0 & se & -pi <= x <=-1 x+1 & se & -1<x<0 1 & se & 0 <= x <= pi

Passo 1

O enunciado define uma função periódica de período 2pi dada por
f(x)= 0, & -pi<= x<= -1, x+1, & -1<x<0, 1, & 0<= x<=pi,
e pede a expansão em série de Fourier da forma
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsin(nx)r),
onde
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx, an=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx, bn=1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx

Passo 2

Primeiro calculamos
integral-pi^pif(x),dx =integral-pi^-10,dx +integral-1^0(x+1),dx +integral0^pi1,dx
Aqui
integral-1^0(x+1),dx =[x^22+x]-1^0 =0-l(tfrac12-1r) =tfrac12,
e
integral0^pi1,dx=pi. Logo
integral-pi^pif(x),dx=pi+tfrac12, a0=1pil(pi+tfrac12r)=1+12pi

Passo 3

Agora an=1pil(I1+I2r), com
I1=integral-1^0(x+1)cos(nx),dx, I2=integral0^picos(nx),dx
Para I1 usamos
integral xcos(nx),dx =xsin(nx)n+cos(nx)n^2
e
integralcos(nx),dx=sin(nx)n.
Assim
I1 =l[xsin(nx)n+cos(nx)n^2+sin(nx)nr]-1^0 =1n^2-cos nn^2 =1-cos nn^2
E
I2 =[sin(nx)n]0^pi =sin(npi)n-0=0
Portanto
an =1pi,1-cos nn^2 =1-cos npi,n^2

Passo 4

De modo análogo
bn=1pil(J1+J2r),
com
J1=integral-1^0(x+1)sin(nx),dx, J2=integral0^pisin(nx),dx
Usando
integral xsin(nx),dx =-xcos(nx)n+sin(nx)n^2
e
integralsin(nx),dx=-cos(nx)n,
obtemos
J1 =l[-xcos(nx)n+sin(nx)n^2-cos(nx)nr]-1^0 =-1n+sin nn^2,
e
J2 =l[-cos(nx)nr]0^pi =-cos(npi)-cos0n =1-(-1)^nn
Somando
J1+J2 =-1n+sin nn^2+1-(-1)^nn =(-1)^n+1n+sin nn^2,
logo
bn =1pi!l((-1)^n+1n+sin nn^2r) =(-1)^n+1pi,n+sin npi,n^2

Passo 5

Juntando tudo, a série de Fourier fica
f(x) =a02 +sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsin(nx)r),
onde
a02 =12+14pi, an=1-cos npi,n^2, bn=(-1)^n+1pi,n+sin npi,n^2

Resposta

boxed f(x) =l(tfrac12+tfrac14pir) +sumn=1^inftyl[ 1-cos npi,n^2cos(nx) +l((-1)^n+1pi,n+sin npi,n^2r)sin(nx) r]

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