faça um esboço das soluções e encontre as soluções de equilíbrio, dizendo em cada caso se o equilíbrio é estável, instável ou semi-estável.
(b) Forme o problema de valor inicial acrescentando a condição inicial . Para quais valores de a solução do problema de valor inicial posui um limite finito?
Passo 1
O enunciado trata de uma equação diferencial autônoma
e pede (a) o esboço das soluções por método da reta de fase, identificando os pontos de equilíbrio e sua estabilidade, e (b) para o problema de valor inicial
determinar para que valores de a solução tem finito.
Passo 2
Vamos achar os equilíbrios resolvendo
Isso dá as raízes
Para entender a dinâmica, analiso o sinal de em cada intervalo:
– : então e .
– : então e .
– : também .
– : e .
Na reta de fase isso significa:
mais precisamente:
y'<0 &em (-1,0) e (0,1), y'>0 &em (-infty,-1) e (1,infty)
Passo 3
Classifico a estabilidade dos equilíbrios olhando as setas em cada lado:
– Em y=-1: à esquerda (y<-1) temos y'>0 (setas apontam para a direita, em direção a -1) e à direita (-1<y<0) temos y'<0 (setas apontam para a esquerda, também em direção a -1). Logo y=-1 é estável.
– Em y=1: em (0,1) e em (1,infty) as setas apontam para longe de 1. Logo y=1 é instável.
– Em y=0: para y>0 (0<y<1) as setas apontam para baixo (em direção a 0), mas para -1<y<0 apontam para baixo (longe de 0). Só em um lado atrai e no outro repele, então y=0 é semi-estável.
Passo 4
Para o problema de valor inicial y(0)=beta, a solução permanece no intervalo onde beta se encontra e se comporta qualitativamente assim:
– Se beta>1, então y'>0 e y(t)toinfty em tempo finito (explosão), sem limite em ttoinfty.
– Se beta=1, y(t)equiv1.
– Se 0<beta<1, y'<0 e y(t)searrow0, aproximando-se de 0 à medida que ttoinfty.
– Se beta=0, y(t)equiv0.
– Se -1<beta<0, y'<0 mas -1 é estável, então y(t)searrow -1 conforme ttoinfty.
– Se beta=-1, y(t)equiv -1.
– Se beta<-1, y'>0 e y(t)nearrow -1 conforme ttoinfty.
Resposta
A solução tem limttoinftyy(t) finito exatamente para beta<=1.
Mais precisamente:
– Para beta>1 não há limite finito (explosão).
– Para beta=1, limttoinftyy(t)=1.
– Para 0<beta<1, limttoinftyy(t)=0.
– Para beta=0, limttoinftyy(t)=0.
– Para -1<beta<0 ou beta<-1, limttoinftyy(t)=-1.
– Para beta=-1, limttoinftyy(t)=-1.