(a) Sem resolver a equação diferencial
y^prime=(y^2-1) y^2
faça um esboço das soluções e encontre as soluções de equilíbrio, dizendo em cada caso se o equilíbrio é estável, instável ou semi-estável.
(b) Forme o problema de valor inicial acrescentando a condição inicial y(0)=beta. Para quais valores de beta a solução do problema de valor inicial posui um limite lim t infty y(t) finito?

Passo 1

O enunciado trata de uma equação diferencial autônoma
y' = (y^2 - 1),y^2
e pede (a) o esboço das soluções por método da reta de fase, identificando os pontos de equilíbrio e sua estabilidade, e (b) para o problema de valor inicial
y(0)=beta,
determinar para que valores de beta a solução tem limttoinftyy(t) finito.

Passo 2

Vamos achar os equilíbrios resolvendo
(y^2 -1),y^2 = 0
Isso dá as raízes
y=0, y^2=1implies y=pm1
Para entender a dinâmica, analiso o sinal de f(y)=y^2(y^2-1) em cada intervalo:
y<-1: então y^2>1 e y^2-1>0 Rightarrow f(y)>0.
-1<y<0: então y^2<1 e y^2-1<0 Rightarrow f(y)<0.
0<y<1: também y^2<1 Rightarrow f(y)<0.
y>1: y^2>1 e y^2-1>0 Rightarrow f(y)>0.
Na reta de fase isso significa:
underbrace y'<0f<=chas para baixo long<=ftarrow;(-1,0);longrightarrow y'>0long<=ftarrow;(0,1);longrightarrow
mais precisamente:
y'<0 &em (-1,0) e (0,1), y'>0 &em (-infty,-1) e (1,infty)

Passo 3

Classifico a estabilidade dos equilíbrios olhando as setas em cada lado:
– Em y=-1: à esquerda ( y<-1) temos y'>0 (setas apontam para a direita, em direção a -1) e à direita ( -1<y<0) temos y'<0 (setas apontam para a esquerda, também em direção a -1). Logo y=-1 é estável.
– Em y=1: em (0,1) e em (1,infty) as setas apontam para longe de 1. Logo y=1 é instável.
– Em y=0: para y>0 ( 0<y<1) as setas apontam para baixo (em direção a 0), mas para -1<y<0 apontam para baixo (longe de 0). Só em um lado atrai e no outro repele, então y=0 é semi-estável.

Passo 4

Para o problema de valor inicial y(0)=beta, a solução permanece no intervalo onde beta se encontra e se comporta qualitativamente assim:
– Se beta>1, então y'>0 e y(t)toinfty em tempo finito (explosão), sem limite em ttoinfty.
– Se beta=1, y(t)equiv1.
– Se 0<beta<1, y'<0 e y(t)searrow0, aproximando-se de 0 à medida que ttoinfty.
– Se beta=0, y(t)equiv0.
– Se -1<beta<0, y'<0 mas -1 é estável, então y(t)searrow -1 conforme ttoinfty.
– Se beta=-1, y(t)equiv -1.
– Se beta<-1, y'>0 e y(t)nearrow -1 conforme ttoinfty.

Resposta

A solução tem limttoinftyy(t) finito exatamente para beta<=1.
Mais precisamente:
– Para beta>1 não há limite finito (explosão).
– Para beta=1, limttoinftyy(t)=1.
– Para 0<beta<1, limttoinftyy(t)=0.
– Para beta=0, limttoinftyy(t)=0.
– Para -1<beta<0 ou beta<-1, limttoinftyy(t)=-1.
– Para beta=-1, limttoinftyy(t)=-1.

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