Em cada caso abaixo, esboce a região
delimitada pelas curvas sugeridas e em seguida calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno do eixo indicado.
e
; eixo
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região D limitada pelas curvas
,
,
e
e, em seguida, calcular o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo
. O conteúdo envolve cálculo de volume por revolução de regiões planas.
Passo 2
Vamos esboçar a região D: no primeiro quadrante, entre
e
, a curva superior é
(a hipérbole) e a curva inferior é
. Assim, D é a faixa sob a hipérbole de
a
.
Passo 3
Como o eixo de rotação é o eixo
e as fatias perpendiculares ao eixo
geram discos, podemos usar o método dos discos. Cada fatia de espessura
forma um disco de raio igual à altura da região, ou seja,
.
Passo 4
O volume pelo método dos discos é dado por
Passo 5
Agora calculamos a integral:
Logo,