Em cada caso abaixo, esboce a região D delimitada pelas curvas sugeridas e em seguida calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região D em torno do eixo indicado.
x y=1, y=0, x=1 e x=2; eixo x.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região D limitada pelas curvas xy=1, y=0, x=1 e x=2 e, em seguida, calcular o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo x. O conteúdo envolve cálculo de volume por revolução de regiões planas.

Passo 2

Vamos esboçar a região D: no primeiro quadrante, entre x=1 e x=2, a curva superior é y=1/x (a hipérbole) e a curva inferior é y=0. Assim, D é a faixa sob a hipérbole de x=1 a x=2.

Passo 3

Como o eixo de rotação é o eixo x e as fatias perpendiculares ao eixo x geram discos, podemos usar o método dos discos. Cada fatia de espessura dx forma um disco de raio igual à altura da região, ou seja, R(x)=ysup=1/x.

Passo 4

O volume pelo método dos discos é dado por
V=piintegralx=1^2l[R(x)r]^2,dx =piintegral1^2l(1xr)^2,dx =piintegral1^2x^-2,dx .

Passo 5

Agora calculamos a integral:
integral1^2x^-2,dx=[-x^-1]1^2=-12+1=12
Logo,
V=pitimes12=pi2

Resposta

pi2

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