Qual o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região do plano x y delimitada pela parábola y=x^2, pelo eixo x e pelas retas y=2 x-1 e y=x+2?

Passo 1

O exercício pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pelas curvas y=x^2, y=0, y=2x−1 e y=x+2. O conteúdo é cálculo de volumes de revolução por discos e anéis, e vamos precisar: pontos de interseção para determinar os limites em x, identificar qual função faz limite superior e inferior em cada trecho, e usar a fórmula V=π∫(R2−r2)dx.

Passo 2

Encontramos as interseções relevantes: interseção de y=x^2 com y=x+2: x^2=x+2 ⇒ x=−1,y=1; com y=2x−1: x^2=2x−1 ⇒ (x−1)^2=0 ⇒ x=1,y=1. Interseção de y=0 com y=x+2: 0=x+2 ⇒ x=−2; com y=2x−1: 0=2x−1 ⇒ x=1/2. Assim, os subintervalos em x são [−2,−1], [−1,1/2] e [1/2,1].

Passo 3

Para cada trecho identificamos os limites: em [−2,−1] o “topo” da região é a reta y=x+2 e o “fundo” é o eixo (y=0); em [−1,1/2] o topo é a parábola y=x^2 e o fundo é y=0; em [1/2,1] o topo continua y=x^2 mas o fundo passa a ser a reta y=2x−1. Na rotação, cada trecho gera discos (quando o fundo é zero) ou anéis.

Passo 4

Montamos o volume como soma de três integrais:
V=pigl(integral-2^-1(x+2)^2,dx+integral-1^1/2(x^2)^2,dx+integral1/2^1l[(x^2)^2-(2x-1)^2r]dxgr)

Passo 5

Agora calculamos cada parte:
I1=integral-2^-1(x+2)^2dx=l[tfrac(x+2)^33r]-2^-1=tfrac13,
I2=integral-1^1/2x^4dx=l[tfracx^55r]-1^1/2=tfrac33160,
I3=integral1/2^1l(x^4-(2x-1)^2r)dx=tfrac13480

Passo 6

Somando e multiplicando por π:
V=pil(tfrac13+tfrac33160+tfrac13480r)=picdottfrac1730

Resposta

tfrac17pi30

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