Qual o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
da região do plano
delimitada pela parábola
, pelo eixo
e pelas retas
e
?
Passo 1
O exercício pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pelas curvas y=x^2, y=0, y=2x−1 e y=x+2. O conteúdo é cálculo de volumes de revolução por discos e anéis, e vamos precisar: pontos de interseção para determinar os limites em x, identificar qual função faz limite superior e inferior em cada trecho, e usar a fórmula V=π∫(R2−r2)dx.
Passo 2
Encontramos as interseções relevantes: interseção de y=x^2 com y=x+2: x^2=x+2 ⇒ x=−1,y=1; com y=2x−1: x^2=2x−1 ⇒ (x−1)^2=0 ⇒ x=1,y=1. Interseção de y=0 com y=x+2: 0=x+2 ⇒ x=−2; com y=2x−1: 0=2x−1 ⇒ x=1/2. Assim, os subintervalos em x são [−2,−1], [−1,1/2] e [1/2,1].
Passo 3
Para cada trecho identificamos os limites: em [−2,−1] o “topo” da região é a reta y=x+2 e o “fundo” é o eixo (y=0); em [−1,1/2] o topo é a parábola y=x^2 e o fundo é y=0; em [1/2,1] o topo continua y=x^2 mas o fundo passa a ser a reta y=2x−1. Na rotação, cada trecho gera discos (quando o fundo é zero) ou anéis.
Passo 4
Montamos o volume como soma de três integrais:
Passo 5
Agora calculamos cada parte:
Passo 6
Somando e multiplicando por π: