Seja y=y(t, y0) a solução correspondente à condição inicial y(0)=y0. Para quais valores de y0 tem-se lim t infty y(t, y0) finito?
y^prime=2 t+y.

Passo 1

A questão pede para encontrar a solução de y′=2t+y com y(0)=y₀ e verificar para quais y₀ temos limₜ→∞ y(t,y₀) finito. Esse é um problema de EDO linear de primeira ordem, na forma y′−y=2t, e vamos usar fator integrante e também tentar uma solução particular por polinômio.

Passo 2

Para resolver, primeiro achamos o fator integrante μ(t)=e^{−∫1 dt}=e^{−t}. Multiplicando a equação por μ(t) obtemos d/dt[e^{−t}y]=2t e^{−t}. Integrando de 0 a t:
integral0^tdl(e^-sy(s)r)=integral0^t2s e^-sds
Calculando a integral por partes, achamos
integral0^t2s e^-sds=-(2t+2)e^-t+2
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e{-t}y(t)-y₀=-(2t+2)e{-t}+2

Passo 3

Multiplicando por e^{t}, obtemos a solução geral
y(t)= (y₀+2)e^t -2t -2
Isso combina a solução homogênea Ce^{t} e a particular yₚ=-2t-2, com C determinado por y(0)=y₀.

Passo 4

Agora, para t→∞, o termo (y₀+2)e^{t} domina sempre que y₀+2≠0, levando y(t) a ±∞. Se y₀+2=0, então y(t)=-2t-2, que ainda diverge (para -∞). Em nenhum caso a solução converge a um valor real finito.

Resposta

Não existe valor de y₀ que torne limₜ→∞ y(t,y₀) finito.

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