Seja
a solução correspondente à condição inicial
. Para quais valores de
tem-se
finito?
.
Passo 1
A questão pede para encontrar a solução de y′=2t+y com y(0)=y₀ e verificar para quais y₀ temos limₜ→∞ y(t,y₀) finito. Esse é um problema de EDO linear de primeira ordem, na forma y′−y=2t, e vamos usar fator integrante e também tentar uma solução particular por polinômio.
Passo 2
Para resolver, primeiro achamos o fator integrante μ(t)=e^{−∫1 dt}=e^{−t}. Multiplicando a equação por μ(t) obtemos d/dt[e^{−t}y]=2t e^{−t}. Integrando de 0 a t:
Calculando a integral por partes, achamos
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e{-t}y(t)-y₀=-(2t+2)e{-t}+2
e{-t}y(t)-y₀=-(2t+2)e{-t}+2
Passo 3
Multiplicando por e^{t}, obtemos a solução geral
Isso combina a solução homogênea Ce^{t} e a particular yₚ=-2t-2, com C determinado por y(0)=y₀.
Passo 4
Agora, para t→∞, o termo (y₀+2)e^{t} domina sempre que y₀+2≠0, levando y(t) a ±∞. Se y₀+2=0, então y(t)=-2t-2, que ainda diverge (para -∞). Em nenhum caso a solução converge a um valor real finito.
Resposta
Não existe valor de y₀ que torne limₜ→∞ y(t,y₀) finito.