Em cada caso abaixo, esboce a região D delimitada pelas curvas sugeridas e em seguida calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região D em torno do eixo indicado.
x^2+y^2=1 ; eixo x=2

Passo 1

O problema pede para encontrar o volume do sólido obtido ao girar a região D delimitada pela curva x^2+y^2=1 (o disco de raio 1 centrado na origem) em torno da reta x=2. O conteúdo envolvido é o cálculo de volumes por rotação, e vamos usar o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

A região D é o disco x^2+y^2<=1. Ao girar em torno de x=2 obtemos um toro. Para montar a integral, cortamos D em fatias verticais: cada fatia em abscissa xin[-1,1] tem altura R(x)=2-x e gira formando uma casca de raio dx e espessura V=integral-1^14pi(2-x)raiz1-x^2,dx=4piintegral-1^1(2-x)raiz1-x^2,dx.
O volume de cada casca é dado por . Assim

Passo 3

Separando em duas integrais:
4piintegral-1^12raiz1-x^2,dx;-;4piintegral-1^1xraiz1-x^2,dx A primeira é 8piintegral-1^1raiz1-x^2,dx=8picdottfracpi2=4pi^2. A segunda integral é de uma função ímpar em um intervalo simétrico, portanto vale zero. Logo obtém-se o resultado final.

Resposta

4pi^2

Exercícios relacionados