Em cada caso abaixo, esboce a região D delimitada pelas curvas sugeridas e em seguida calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região D em torno do eixo indicado.
y=x^2, y=4-x^2 ; eixo x

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região D limitada pelas curvas y=x^2 e y=4 - x^2 e depois calcular o volume do sólido obtido ao girar D em torno do eixo x. O conteúdo aqui é sólidos de revolução, que vamos tratar pelo método dos anéis (washer), usando a fórmula de volume por integração.

Passo 2

Para começar, encontramos onde as curvas se cruzam, resolvendo
x^2 = 4 - x^2
Logo:
2x^2 = 4 implies x^2 = 2 implies x = pmraiz2
Assim, em xin[-raiz2,raiz2], a fronteira superior é ysup(x)=4-x^2 e a inferior é yinf(x)=x^2.

Passo 3

Pelo método dos anéis, o volume é dado por
V = integrala^b pil[R(x)^2 - r(x)^2r],dx,
onde R(x) é a distância da curva superior ao eixo de rotação e r(x) é a da curva inferior. Aqui
R(x)=4-x^2,
r(x)=x^2,
e os limites são a=-raiz2, b=raiz2. Logo:
V = pi integral-raiz2^raiz2 l((4 - x^2)^2 - (x^2)^2r),dx

Passo 4

Expandindo o integrando:
(4 - x^2)^2 - (x^2)^2 = 16 - 8x^2
Como é função par, podemos usar simetria e integrar de 0 a raiz2, dobrando o resultado:
V = 2pi integral0^raiz2 (16 - 8x^2),dx
A antiderivada é
2pi l[16x - 8x^33r]0^raiz2 = 2pi l(16raiz2 - 8cdot2raiz23r) = 2pi cdot 32raiz23 = 64raiz2pi3

Resposta

V = 64raiz2pi3

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