Em cada caso abaixo, esboce a região
delimitada pelas curvas sugeridas e em seguida calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno do eixo indicado.
eixo
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a região D limitada pelas curvas
e
e depois calcular o volume do sólido obtido ao girar D em torno do eixo x. O conteúdo aqui é sólidos de revolução, que vamos tratar pelo método dos anéis (washer), usando a fórmula de volume por integração.
Passo 2
Para começar, encontramos onde as curvas se cruzam, resolvendo
Logo:
Assim, em
, a fronteira superior é
e a inferior é
.
Passo 3
Pelo método dos anéis, o volume é dado por
onde
é a distância da curva superior ao eixo de rotação e
é a da curva inferior. Aqui
e os limites são
,
. Logo:
Passo 4
Expandindo o integrando:
Como é função par, podemos usar simetria e integrar de 0 a
, dobrando o resultado:
A antiderivada é