Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
integral x^5raizx^2+1 d x=

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a integral indefinida integral x^5raizx^2+1,dx. O conteúdo da matéria é substituição simples em integrais, e vamos precisar usar a regra de substituição (trocando x por uma nova variável t) e a regra de potência para integrar.

Passo 2

Vamos escolher a substituição apropriada. Note que aparece x^2+1 debaixo da raiz. Definimos
t = x^2+1,
então
dt = 2x,dx Longrightarrow x,dx = dt2

Passo 3

Precisamos expressar x^5,dx em função de t e dt. Escrevemos
x^5 = x^4cdot x = (x^2)^2,x = (t-1)^2,x,
então
x^5,dx = (t-1)^2,(x,dx) = (t-1)^2cdot dt2

Passo 4

Substituímos na integral original e transformamos também o denominador raizx^2+1=raizt:
integral x^5raizx^2+1,dx = 12integral (t-1)^2t^1/2,dt = 12integral (t-1)^2,t^-1/2,dt
Expandindo o integrando:
(t-1)^2,t^-1/2 = (t^2-2t+1)t^-1/2 = t^3/2 - 2t^1/2 + t^-1/2

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral t^3/2,dt = 25t^5/2,
integral t^1/2,dt = 23t^3/2,
integral t^-1/2,dt = 2t^1/2
Lembrando do fator tfrac12, obtemos
12l(25t^5/2 - 2cdot23t^3/2 + 2t^1/2r) = 15t^5/2 - 23t^3/2 + t^1/2

Passo 6

Por fim, revertendo a substituição t = x^2+1, a antiderivada fica
15(x^2+1)^5/2 - 23(x^2+1)^3/2 + (x^2+1)^1/2 + C

Resposta

15(x^2+1)^5/2 - 23(x^2+1)^3/2 + (x^2+1)^1/2 + C

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