Para cada uma das funções abaixo, determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas.
f(x)=2 x^2raizx^2-16.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas da função f(x)=2x^2raizx^2-16. Isso cai no tópico de estudo de limites e assíntotas de funções, e vamos precisar determinar o domínio, estudar os limites nos pontos críticos e em xtopminfty.

Passo 2

Primeiro vamos ver o domínio de f. Como há uma raiz raizx^2-16 no denominador, precisamos de x^2-16>0, ou seja x^2>16. Isso dá x>4 ou x<-4. Os pontos onde o denominador zera são x=4 e x=-4, e esses são candidatos a assíntotas verticais. Para confirmar, estudamos o limite de f(x) quando x se aproxima dessas raízes a partir do domínio:
– Para xto4^+, temos raizx^2-16to0^+ e o numerador 2x^2to32>0, logo f(x)to+infty.
– Para xto(-4)^-, de modo análogo, raizx^2-16to0^+ e numerador 2x^2to32, logo f(x)to+infty.
Assim confirmamos que x=4 e x=-4 são assíntotas verticais.

Passo 3

Agora vamos ver se existe assíntota horizontal. Para isso, calculamos os limites em xto+infty e xto-infty:
limxto+inftyf(x)=limxto+infty2x^2raizx^2-16approxlimxto+infty2x^2x=limxto+infty2x=+infty,
limxto-inftyf(x)=limxto-infty2x^2raizx^2-16approxlimxto-infty2x^2-x=limxto-infty-2x=+infty
Como ambos os limites são infinitos, não há assíntota horizontal.

Passo 4

Por fim, para achar as assíntotas oblíquas, desenvolvemos f(x) em torno de infinito e identificamos a reta y=mx+b que melhor se aproxima. Por exemplo, para xto+infty:
raizx^2-16=xraiz1-16x^2=xl(1-8x^2+ol(tfrac1x^2r)r)=x-8x+ol(tfrac1xr)
Então
f(x)=2x^2x-8x+cdots=2xcdot11-8x^2+cdots=2x+16x+ol(tfrac1xr)
Isso mostra que, para xto+infty, f(x) se aproxima de y=2x.
De modo parecido, para xto-infty obtemos que f(x) se aproxima de y=-2x.
Portanto as assíntotas oblíquas são y=2x para xto+infty e y=-2x para xto-infty.

Resposta

Assíntotas verticais: x=4 e x=–4; assíntotas horizontais: nenhuma; assíntotas oblíquas: y=2x (x→+∞) e y=–2x (x→–∞).

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