Para cada uma das funções abaixo, determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas da função
. Isso cai no tópico de estudo de limites e assíntotas de funções, e vamos precisar determinar o domínio, estudar os limites nos pontos críticos e em
.
Passo 2
Primeiro vamos ver o domínio de
. Como há uma raiz
no denominador, precisamos de
, ou seja
. Isso dá
ou
. Os pontos onde o denominador zera são
e
, e esses são candidatos a assíntotas verticais. Para confirmar, estudamos o limite de
quando
se aproxima dessas raízes a partir do domínio:
– Para , temos
e o numerador
, logo
.
– Para , de modo análogo,
e numerador
, logo
.
Assim confirmamos que e
são assíntotas verticais.
– Para
– Para
Assim confirmamos que
Passo 3
Agora vamos ver se existe assíntota horizontal. Para isso, calculamos os limites em
e
:
Como ambos os limites são infinitos, não há assíntota horizontal.
Passo 4
Por fim, para achar as assíntotas oblíquas, desenvolvemos
em torno de infinito e identificamos a reta
que melhor se aproxima. Por exemplo, para
:
Então
Isso mostra que, para
,
se aproxima de
.
De modo parecido, para obtemos que
se aproxima de
.
Portanto as assíntotas oblíquas são para
e
para
.
De modo parecido, para
Portanto as assíntotas oblíquas são
Resposta
Assíntotas verticais: x=4 e x=–4; assíntotas horizontais: nenhuma; assíntotas oblíquas: y=2x (x→+∞) e y=–2x (x→–∞).