Seja y=y(t, y0) a solução correspondente à condição inicial y(0)=y0. Para quais valores de y0 tem-se lim t infty y(t, y0) finito?
y^prime=-yt.

Passo 1

O enunciado pede que a gente veja para quais condições iniciais y(0)=y0 a solução de
y'=- yt
teve um limite finito quando ttoinfty. O conteúdo é uma EDO de primeira ordem separável e vamos precisar resolver isso e depois impor a condição inicial.

Passo 2

Vamos separar variáveis:
$$\frac{dy}{y}=-\frac{dt}{t}.
dyy=-dtt \ln|y|=-\ln|t|+C_1.
ln|y|=-ln|t|+C1 àçã|y|=e^{C_1}\frac1t,
|y|=e^C11t, y=\frac C t,
$$
onde y= C t, é uma constante real qualquer.

Passo 3

Agora impomos a condição inicial y(0)=y0. Note que
y(0)= C0
não faz sentido a menos que C=0. Logo, a única solução que passa por t=0 com valor finito é a solução trivial y(t)equiv0. Isso implica que só podemos ter y0=0.

Passo 4

Com y0=0, a solução é y(t)=0 para todo t. Logo
limttoinftyy(t)=0,
o que é um valor finito.

Resposta

Somente para y0=0.

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