Em cada caso abaixo, esboce a região
delimitada pelas curvas sugeridas e em seguida calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno do eixo indicado.
eixo
Passo 1
O enunciado pede para girar em torno do eixo y a região D limitada por y = x⁴ – 2x² e y = 2x² para x ≥ 0, esboçar D e calcular o volume. Vamos usar o método dos cascos cilíndricos.
Passo 2
Para encontrar onde as curvas se encontram em x ≥ 0, igualamos:
Isso dá
Logo x = 0 ou x = 2 (descartamos x<0). Então as abscissas de interseção são 0 e 2.
Passo 3
A altura de cada casco, que é a distância vertical entre as curvas, vale
Passo 4
O raio de cada casco em relação ao eixo y é r(x)=x. Pelo método dos cascos, o volume é
Passo 5
Expandindo o integrando:
então
Passo 6
Agora integramos:
Passo 7
Portanto
Passo 8
Calculando os valores:
Passo 9
Logo