Em cada caso abaixo, esboce a região D delimitada pelas curvas sugeridas e em seguida calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região D em torno do eixo indicado.
y=x^4-2 x^2, y=2 x^2, x >= 0 ; eixo y

Passo 1

O enunciado pede para girar em torno do eixo y a região D limitada por y = x⁴ – 2x² e y = 2x² para x ≥ 0, esboçar D e calcular o volume. Vamos usar o método dos cascos cilíndricos.

Passo 2

Para encontrar onde as curvas se encontram em x ≥ 0, igualamos:
x^4 - 2x^2 = 2x^2
Isso dá
x^4 - 4x^2 = 0 implies x^2(x^2-4)=0
Logo x = 0 ou x = 2 (descartamos x<0). Então as abscissas de interseção são 0 e 2.

Passo 3

A altura de cada casco, que é a distância vertical entre as curvas, vale
h(x)=ytop - ybot=2x^2 - (x^4 - 2x^2)=4x^2 - x^4

Passo 4

O raio de cada casco em relação ao eixo y é r(x)=x. Pelo método dos cascos, o volume é
V = 2pi integralx=0^2 r(x),h(x),dx = 2pi integral0^2 xl(4x^2 - x^4r)dx

Passo 5

Expandindo o integrando:
x(4x^2 - x^4) = 4x^3 - x^5,
então
V = 2pi integral0^2 (4x^3 - x^5),dx

Passo 6

Agora integramos:
integral 4x^3,dx = x^4,
integral x^5,dx = x^66

Passo 7

Portanto
V = 2pi l[x^4 - x^66r]0^2 = 2pi l(2^4 - 2^66r)

Passo 8

Calculando os valores:
2^4 = 16, 2^6 = 64, 646 = 323

Passo 9

Logo
V = 2pi l(16 - 323r) = 2pi cdot 163 = 32pi3

Resposta

32pi3

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