Em cada caso abaixo, esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região obtida em torno do eixo indicado:
; eixo de rotação:
(eixo
).
Passo 1
O enunciado pede a região comum a
(eixo
),
e
, e depois o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno de
. O conteúdo usado aqui é o método dos discos e anéis (washers) para volumes de revolução.
Passo 2
Encontremos os pontos-chave de interseção:
-
com dá , logo . Ponto . -
com dá , logo . Ponto . -
com dá , ou , logo . Ponto .
Passo 3
O contorno da região é dado por:
- De
a , entre e . - De
a , entre (abaixo) e (acima).
Passo 4
Para girar em torno de
, usamos
onde
é o raio externo e
o interno.
Passo 5
Região de
: só há disco com raio
e
.
Passo 6
Região de
: anel com
Calculando a integral:
e avaliando de
a
dá
Passo 7
Somando as duas partes: