Em cada caso abaixo, esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região obtida em torno do eixo indicado:
y=0, y=x^2, y=2 x-1; eixo de rotação: y=0 (eixo O x ).

Passo 1

O enunciado pede a região comum a y=0 (eixo x), y=x^2 e y=2x-1, e depois o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno de y=0. O conteúdo usado aqui é o método dos discos e anéis (washers) para volumes de revolução.

Passo 2

Encontremos os pontos-chave de interseção:
  1. y=x^2 com y=0 x^2=0, logo x=0. Ponto (0,0).
  2. y=2x-1 com y=0 2x-1=0, logo x=tfrac12. Ponto l(tfrac12,0r).
  3. y=x^2 com y=2x-1 x^2-2x+1=0, ou (x-1)^2=0, logo x=1. Ponto (1,1).

Passo 3

O contorno da região é dado por:
  • De x=0 a x=tfrac12, entre y=0 e y=x^2.
  • De x=tfrac12 a x=1, entre y=2x-1 (abaixo) e y=x^2 (acima).

Passo 4

Para girar em torno de y=0, usamos
V = piintegral (R(x)^2 - r(x)^2),dx,
onde R(x) é o raio externo e r(x) o interno.

Passo 5

Região de 0<= x<=tfrac12: só há disco com raio R(x)=x^2 e r(x)=0.
V1 = piintegral0^1/2 (x^2)^2,dx = piintegral0^1/2 x^4,dx = pil[tfracx^55r]0^1/2 = pi;(1/2)^55 = pi160

Passo 6

Região de tfrac12<= x<=1: anel com
R(x)=yrm cima=x^2, r(x)=yrm baixo=2x-1
V2 = piintegral1/2^1l[(x^2)^2 - (2x-1)^2r],dx = piintegral1/2^1l(x^4 - (4x^2-4x+1)r),dx
Calculando a integral:
integral x^4,dx = x^55, integral -4x^2,dx = -4x^33, integral 4x,dx = 2x^2, integral -1,dx = -x,
e avaliando de tfrac12 a 1
V2 = pi;13480

Passo 7

Somando as duas partes:
V = V1 + V2 = pi160 + 13pi480 = 3pi +13pi480 = 16pi480 = pi30

Resposta

V = pi30.

Exercícios relacionados