Exercício 13. (Apostol, capítulo 9.13, exercício 22) Considere uma função f: R^2 R dada por f(x)=a x+b y+c. Dados pontos (x1, y1, z1), ldots,(xn, yn, zn) em R^3, determine os valores de a, b e c tais que
E(a, b, c)=sumk=1^n(f(xk, yk)-zk)^2
seja o menor possível.

Passo 1

O enunciado pede para ajustar uma “reta em 3D” (plano) da forma
f(x,y)=a,x+b,y+c
a um conjunto de pontos (xk,yk,zk), k=1,dots,n, minimizando o erro quadrático
E(a,b,c)=sumk=1^nl(a,xk+b,yk+c - zkr)^2
O conteúdo usado aqui é cálculo de variáveis múltiplas: a condição de mínimo ocorre quando as derivadas parciais de E em relação a a,b,c são todas nulas.

Passo 2

Para encontrar o mínimo, calculamos as derivadas parciais
partial Epartial a, partial Epartial b, partial Epartial c
e igualamos a zero. Note que
E(a,b,c) =sumk=1^nepsilonk^2,onde epsilonk = a,xk+b,yk+c - zk

Passo 3

Usando tfracddtheta(theta^2)=2theta, obtemos
partial Epartial a =2sumk=1^nxk,epsilonk, partial Epartial b =2sumk=1^nyk,epsilonk, partial Epartial c =2sumk=1^nepsilonk
A condição de mínimo impõe
sumk=1^nxk,(a,xk+b,yk+c - zk)=0,
sumk=1^nyk,(a,xk+b,yk+c - zk)=0,
sumk=1^n(a,xk+b,yk+c - zk)=0

Passo 4

Expandindo essas somas, obtemos o sistema linear em a,b,c:
asum xk^2 ;+; bsum xk yk ;+; csum xk ;=;sum xk zk,
asum xk yk ;+; bsum yk^2 ;+; csum yk ;=;sum yk zk,
asum xk ;+; bsum yk ;+; c,n ;=;sum zk

Passo 5

Podemos escrever esse sistema na forma matricial
Como a matriz dos coeficientes é (sob condições genéricas) invertível, a solução que minimiza é a solução desse sistema.

Resposta

A tripla que minimiza
é dada pela solução do sistema normal

Exercícios relacionados