Exercício 13. (Apostol, capítulo 9.13, exercício 22) Considere uma função
dada por
. Dados pontos
em
, determine os valores de
e
tais que
seja o menor possível.
Passo 1
O enunciado pede para ajustar uma “reta em
D” (plano) da forma
a um conjunto de pontos
,
, minimizando o erro quadrático
O conteúdo usado aqui é cálculo de variáveis múltiplas: a condição de mínimo ocorre quando as derivadas parciais de
em relação a
são todas nulas.
Passo 2
Para encontrar o mínimo, calculamos as derivadas parciais
e igualamos a zero. Note que
Passo 3
Usando
, obtemos
A condição de mínimo impõe
Passo 4
Expandindo essas somas, obtemos o sistema linear em
:
Passo 5
Podemos escrever esse sistema na forma matricial
Como a matriz dos coeficientes é (sob condições genéricas) invertível, a solução
que minimiza
é a solução desse sistema.
Resposta
A tripla
que minimiza
é dada pela solução do sistema normal