Exercício 14. (Apostol, capítulo 9.13, exercício 23) Sejam
são
pontos distintos de
. Se
, definimos
Prove que
tem um mínimo em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados pontos
e a função
o mínimo de
ocorre no ponto
O conteúdo envolvido é o completamento do quadrado em
(ou, equivalentemente, encontrar o ponto crítico de uma forma quadrática).
Passo 2
Defina o vetor médio
Para cada termo do somatório, usemos a identidade de completamento do quadrado em
:
Passo 3
Somando de
até
, obtemos
Agrupando termos,
Por definição de
temos
então o termo de produto interno some e sobra
Passo 4
Como
para todo
e é igual a zero apenas quando
, segue que
com igualdade se, e somente se,
. Portanto
atinge seu valor mínimo em
.
Resposta
A função
tem mínimo em