Exercício 14. (Apostol, capítulo 9.13, exercício 23) Sejam z1, ldots, zn são n pontos distintos de R^m. Se x in R^m, definimos
f(x)=sumk=1^n|x-zk|^2
Prove que f tem um mínimo em a=1n sumk=1^n zk.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados pontos z1,dots,zninR^m e a função
f(x)=sumk=1^n|x-zk|^2,
o mínimo de f ocorre no ponto
a=1nsumk=1^nzk
O conteúdo envolvido é o completamento do quadrado em R^m (ou, equivalentemente, encontrar o ponto crítico de uma forma quadrática).

Passo 2

Defina o vetor médio
a=1nsumk=1^nzk
Para cada termo do somatório, usemos a identidade de completamento do quadrado em R^m:
|x-zk|^2 =|,x-a + (a-zk)|^2 =|x-a|^2 +2llang<= x-a,;a-zkrrang<= +|a-zk|^2

Passo 3

Somando de k=1 até n, obtemos
f(x) =sumk=1^n|x-zk|^2 =sumk=1^nl(|x-a|^2 +2lang<= x-a,a-zkrang<= +|a-zk|^2r)
Agrupando termos,
f(x) =n,|x-a|^2 +2llang<= x-a,sumk=1^n(a-zk)rrang<= +sumk=1^n|a-zk|^2
Por definição de a temos
sumk=1^n(a-zk) =n,a-sumk=1^nzk =0,
então o termo de produto interno some e sobra
f(x) =n,|x-a|^2 +sumk=1^n|a-zk|^2

Passo 4

Como |x-a|^2>=0 para todo x e é igual a zero apenas quando x=a, segue que
f(x)>= sumk=1^n|a-zk|^2,
com igualdade se, e somente se, x=a. Portanto f atinge seu valor mínimo em x=a.

Resposta

A função f tem mínimo em
a = 1nsumk=1^nzk

Exercícios relacionados