Problema 30 Encontre a função inversa da função f(x)=e^2 x+6.

Passo 1

O enunciado pede a função inversa de
f(x) = e^2x+6,
Aqui o conteúdo é de funções inversas, em que usamos a propriedade de que a exponencial é bijetora sobre (0,infty) e sua inversa é o logaritmo natural ln. Vamos precisar aplicar ln e isolar x.

Passo 2

Para encontrar a inversa começamos definindo
y = f(x) = e^2x+6,
Em seguida aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados, usando ln(e^u)=u:
ln y = lnl(e^2x+6r) = 2x + 6,

Passo 3

Agora isolamos x. Subtraindo 6 e dividindo por 2, vem
2x = ln y - 6 Longrightarrow x = ln y - 62,

Passo 4

Trocamos o papel de x e y para escrever a inversa como função de x. Assim
f^-1(x) = ln x - 62,,
com domínio x>0 (pois ln x só é definido para xin(0,infty)) e contradomínio todo R.

Resposta

A função inversa é
f^-1(x) = ln x - 62,

Exercícios relacionados