Em cada caso abaixo, verifique se a sequência dada pelo seu termo geral é convergente ou divergente:
(d) 2^n1+2^n
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Para quais valores de r a sequência n r^n é convergente?

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da sequência an=2^n1+2^n e, em seguida, determinar para quais valores de r a sequência bn=n,r^n é convergente. Vamos usar limites e comparar crescimento exponencial vs. polinomial.

Passo 2

Reescrevendo an como an=11+2^-n, observamos que 2^-n tende a zero quando ntoinfty. Logo,

Passo 3

limntoinftyan=limntoinfty11+2^-n=11+0=1

Passo 4

Para bn=n,r^n, analisamos três casos: se |r|<1, então r^nto0 exponencialmente e domina o fator n, levando bnto0; se |r|>1, então |r|^ntoinfty e bn diverge em módulo; se |r|=1, temos bn=n ou bn=n(-1)^n, que também divergem em módulo. Portanto, convergência só ocorre quando |r|<1.

Resposta

A sequência an=2^n1+2^n converge e seu limite é 1. A sequência n,r^n converge se, e somente se, |r|<1.

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