Em cada caso abaixo, verifique se a sequência dada pelo seu termo geral é convergente ou divergente:
(d)
58
Para quais valores de
a sequência
é convergente?
(d)
58
Para quais valores de
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da sequência
e, em seguida, determinar para quais valores de
a sequência
é convergente. Vamos usar limites e comparar crescimento exponencial vs. polinomial.
Passo 2
Reescrevendo
como
, observamos que
tende a zero quando
. Logo,
Passo 3
Passo 4
Para
, analisamos três casos: se
, então
exponencialmente e domina o fator
, levando
; se
, então
e
diverge em módulo; se
, temos
ou
, que também divergem em módulo. Portanto, convergência só ocorre quando
.
Resposta
A sequência
converge e seu limite é 1. A sequência
converge se, e somente se,
.