Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(17) an=0,1,0,0,1,0,0,0,1, ldots
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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(18) an=n!2^n

Passo 1

O enunciado pede para decidir se duas sequências convergem ou divergem e, se convergirem, encontrar o limite. O conteúdo envolve definição de limite de sequência e testes de convergência (subsequências e teste da razão).

Passo 2

Uma sequência an converge para um número L se, para todo varepsilon>0, existe um N tal que, para todo n>N, vale |an - L|. Caso contrário, dizemos que ela diverge (ou tende a pminfty).

Passo 3

Para a sequência (17) an=0,1,0,0,1,0,0,0,1,ldots, notamos que existem duas subsequências: uma que assume sempre o valor 0 (quando an=0) e outra que assume sempre o valor 1 (nos termos onde aparece 1). A subsequência dos zeros tende a 0 e a dos uns tende a 1. Como não há um único valor L que ambas as subsequências se aproximem, a sequência original não converge.

Passo 4

Para a sequência (18) an=n!2^n, usamos o teste da razão. Calculamos
an+1an =(n+1)!2^n+1n!2^n =n+12
Para n suficientemente grande, (n+1)/2>1, o que mostra que an+1>an e que an cresce sem limite finito, tendendo a +infty. Portanto diverge.

Resposta

A sequência (17) diverge (não tem limite único). A sequência (18) diverge pois limntoinftyan=+infty.

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