Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(17)
53
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(18)
(17)
53
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(18)
Passo 1
O enunciado pede para decidir se duas sequências convergem ou divergem e, se convergirem, encontrar o limite. O conteúdo envolve definição de limite de sequência e testes de convergência (subsequências e teste da razão).
Passo 2
Uma sequência
converge para um número
se, para todo
, existe um
tal que, para todo
, vale
. Caso contrário, dizemos que ela diverge (ou tende a
).
Passo 3
Para a sequência (17)
, notamos que existem duas subsequências: uma que assume sempre o valor 0 (quando
) e outra que assume sempre o valor 1 (nos termos onde aparece
). A subsequência dos zeros tende a 0 e a dos uns tende a 1. Como não há um único valor
que ambas as subsequências se aproximem, a sequência original não converge.
Passo 4
Para a sequência (18)
, usamos o teste da razão. Calculamos
Para
suficientemente grande,
, o que mostra que
e que
cresce sem limite finito, tendendo a
. Portanto diverge.
Resposta
A sequência (17) diverge (não tem limite único). A sequência (18) diverge pois
.