Determine a solução geral da equação y^prime prime+2 y^prime+y=e^x ln x.

Passo 1

Temos a EDO não homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
y''+2y'+y=e^xln x
O conteúdo é resolução de EDO linear de 2ª ordem: primeiro achamos a solução geral da homogênea e depois uma particular por variação de parâmetros.

Passo 2

A equação característica associada à parte homogênea
r^2+2r+1=0
possui raiz dupla r=-1. Logo as soluções fundamentais são
y1(x)=e^-x, y2(x)=x e^-x

Passo 3

Para variação de parâmetros usamos a forma
yp=-y1integraly2 fW,dx+y2integraly1 fW,dx,
onde f(x)=e^xln x e o Wronskiano
W=y1y2'-y1'y2=e^-2x
Os integrandos ficam
I1=-x e^-xe^xln xe^-2x=-x e^2xln x,
I2=e^-xe^xln xe^-2x=e^2xln x

Passo 4

Calculamos
I2=integral e^2xln x,dx
por partes com u=ln x, dv=e^2xdx. Resulta
integral e^2xln x,dx=e^2x2ln x-12Ei(2x)

Passo 5

Agora
I1=-integral x e^2xln x,dx
Chamando J=integral x e^2xln x,dx e aplicando partes duas vezes, obtemos
J=12x e^2xln x-14e^2xln x-14e^2x+14Ei(2x)
Logo
I1=-J=-12x e^2xln x+14e^2xln x+14e^2x-14Ei(2x)

Passo 6

Substituindo em
yp=-y1I1+y2I2
e simplificando os termos, achamos
yp=14e^x(ln x+1)-1+2x4e^-xEi(2x)

Resposta

A solução geral é
y(x)=(C1+C2x)e^-x+14e^x(ln x+1)-1+2x4e^-xEi(2x)

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