Mostre que a substituição
transforma a equação
e
constantes e
, em uma equação com coeficientes constantes. Utilize este processo para resolver a equação
.
Passo 1
Temos uma equação de Euler–Cauchy da forma
, com constantes
e
. O conteúdo é a transformação de Euler: fazendo
(logo
) conseguimos uma equação com coeficientes constantes em
. Vamos usar regra da cadeia para mudar derivadas em
em derivadas em
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a regra da cadeia para obter
e
em função de derivadas em
. Como
, temos
, então
e para a segunda derivada
onde o
é derivada em relação a
.
Passo 3
Agora substituímos em
:
o que simplifica para
Essa é uma equação linear com coeficientes constantes em
. O polinômio característico é
.
Passo 4
Vamos aplicar esse processo à equação dada
ou seja,
,
. A equação em
fica
pois
.
Passo 5
Resolvemos primeiro a homogênea
. O polinômio característico
tem raízes
e
. Logo
Passo 6
Para uma solução particular de
, tentamos
Derivadas:
Substituindo:
Agrupando termos em
e igualando coeficientes, obtemos
que dão
$$A=-\tfrac{1}{6},\quad B=-\tfrac{1}{18},\quad C=-\tfrac{7}{108}.
$$
Passo 7
A solução geral em
é
Voltando a
(isto é,
), fica
Passo 8
Em x o resultado final é