Mostre que a substituição x=e^t transforma a equação x^2 d^2 yd x^2+a x d yd x+b y=0, a e b constantes e x>0, em uma equação com coeficientes constantes. Utilize este processo para resolver a equação x^2 d^2 yd x^2+2 x d yd x-6 y=(ln x)^2, x>0.

Passo 1

Temos uma equação de Euler–Cauchy da forma x^2d^2ydx^2 + a,xdydx + b,y = 0, com constantes a,b e x>0. O conteúdo é a transformação de Euler: fazendo x=e^t (logo t=ln x) conseguimos uma equação com coeficientes constantes em t. Vamos usar regra da cadeia para mudar derivadas em x em derivadas em t.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a regra da cadeia para obter dy/dx e d^2y/dx^2 em função de derivadas em t. Como t=ln x, temos dt/dx=1/x, então
dydx=dydtcdotdtdx=1xy',
e para a segunda derivada
d^2ydx^2=ddxl(1xy'r)=ddtl(1xy'r)cdotdtdx= rac1xddtl(x^-1y'r)=1x^2(y''-y'),
onde o prime é derivada em relação a t.

Passo 3

Agora substituímos em x^2d^2ydx^2+a xdydx+b y=0:
x^2cdot1x^2(y''-y')+a xcdot1xy'+b y=0
o que simplifica para
y''-y'+a y'+b y=y''+(a-1)y'+b y=0
Essa é uma equação linear com coeficientes constantes em t. O polinômio característico é r^2+(a-1)r+b=0.

Passo 4

Vamos aplicar esse processo à equação dada
x^2d^2ydx^2+2xdydx-6y=(ln x)^2,
ou seja, a=2, b=-6. A equação em t fica
y''+(2-1)y'-6y=y''+y'-6y=t^2,
pois ln x=t.

Passo 5

Resolvemos primeiro a homogênea y''+y'-6y=0. O polinômio característico
r^2+r-6=0
tem raízes r=2 e r=-3. Logo
yh(t)=C1e^2t+C2e^-3t

Passo 6

Para uma solução particular de y''+y'-6y=t^2, tentamos
yp(t)=A t^2+B t+C
Derivadas:
yp'=2A t+B,
yp''=2A
Substituindo:
2A+(2A t+B)-6(A t^2+B t+C)=t^2
Agrupando termos em t^2,t,1 e igualando coeficientes, obtemos
-6A=1,2A-6B=0,2A+B-6C=0
que dão
$$A=-\tfrac{1}{6},\quad B=-\tfrac{1}{18},\quad C=-\tfrac{7}{108}.
$$

Passo 7

A solução geral em t é
y(t)=C1e^2t+C2e^-3t-tfrac16t^2-tfrac118t-tfrac7108
Voltando a x=e^t (isto é, e^2t=x^2,;e^-3t=x^-3,;t=ln x), fica

Passo 8

Em x o resultado final é

Passo 9

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