Em cada caso abaixo, verifique se a sequência dada pelo seu termo geral é convergente ou divergente:
(b) 1raizn^2+1-raizn
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Em cada caso abaixo, verifique se a sequência dada pelo seu termo geral é convergente ou divergente:
© 2^nn!

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as duas sequências abaixo são convergentes ou divergentes e, em caso de convergência, determinar o limite.
Conteúdo envolvido: limite de sequências, racionalização de expressões e comparação de crescimento entre potência e fatorial.

Passo 2

Para a sequência an=1raizn^2+1-raizn, aplicamos racionalização. Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado raizn^2+1+raizn:
1raizn^2+1-raizn=raizn^2+1+raizn(raizn^2+1)^2-(raizn)^2=raizn^2+1+raiznn^2-n+1
Para grandes n, o numerador cresce como n e o denominador como n^2, logo a expressão é equivalente a nn^2=1n. Portanto anto0, ou seja, a sequência converge para 0.

Passo 3

Para a sequência bn=2^nn!, usamos o teste da razão. Calculamos:
bn+1bn=2^n+1/(n+1)!2^n/n!=2n+1
Como 2n+1to0<1 quando ntoinfty, a sequência converge, e seu limite é 0.

Resposta

Ambas as sequências são convergentes e têm limite 0.

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