Determine a solução da EDO y^prime prime+y^prime-6 y=0 que satisfaz a lim x infty y(x)=0 e y(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' - 6y = 0
e encontrar a solução que satisfaz as condições de contorno limxtoinftyy(x)=0 e inicial y(0)=0. Vamos usar o método do polinômio característico para EDOs de coeficientes constantes.

Passo 2

Para aplicar o método, montamos o polinômio característico associado à EDO substituindo yto e^rx:
r^2 + r - 6 = 0
Este polinômio nos dá as raízes que definem os expoentes da solução geral.

Passo 3

Resolvendo o polinômio característico:
r^2 + r - 6 = (r - 2)(r + 3) = 0
Logo, as raízes são r1 = 2 e r2 = -3.

Passo 4

Como as raízes são distintas, a solução geral da EDO é dada por
y(x) = C1 e^2x + C2 e^-3x
onde C1 e C2 são constantes a determinar pelas condições.

Passo 5

Impondo limxtoinftyy(x)=0, vemos que o termo e^2x diverge se C1neq0. Para que a solução decaia a zero, precisamos de
C1 = 0
Portanto resta
y(x) = C2 e^-3x

Passo 6

Usando a condição inicial y(0)=0:
y(0) = C2 e^0 = C2 = 0
Assim, C2=0 e a única solução que atende todas as condições é a trivial.

Resposta

y(x)=0

Exercícios relacionados