Em cada caso, avalie se a integral é divergente ou convergente:
.

Passo 1

O enunciado pede pra avaliar a integral imprópria de 0 a +∞ de tfrac1(x+1)(x^2+1). Isso cai na matéria de integrais impróprias, onde vamos analisar comportamento assintótico e usar decomposição em frações parciais para calcular e ver se o resultado é finito.

Passo 2

Primeiro, note que o integrando não tem singularidades em [0,∞) — só precisamos checar o limite quando x→∞. Para grandes x, tfrac1(x+1)(x^2+1)simtfrac1x^3, e como integral^∞tfrac1x^3dx converge, esperamos que nossa integral também seja convergente.

Passo 3

Vamos fazer a decomposição em frações parciais: buscamos constantes A,B,C tais que
1(x+1)(x^2+1) = Ax+1 + Bx + Cx^2+1
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^2+1) e igualando coeficientes, achamos
A=tfrac12,;B=-tfrac12,;C=tfrac12

Passo 4

Agora integramos termo a termo usando antiderivadas conhecidas:
integral12(x+1)dx=12ln(x+1),
integral-x/2x^2+1dx=-14ln(x^2+1),
integral1/2x^2+1dx=12arctan x
Somando, uma primitiva é
F(x)=12ln(x+1)-14ln(x^2+1)+12arctan x

Passo 5

Por fim, aplicamos os limites de 0 até +∞:
limxto∞F(x)=0+0+12cdotπ2=π4, F(0)=0
Então o valor da integral é tfracπ4, que é finito, provando que a integral é convergente.

Resposta

Convergente, e seu valor é tfracπ4.

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