Em cada caso, avalie se a integral é divergente ou convergente:
.
Passo 1
O enunciado pede pra avaliar a integral imprópria de 0 a +∞ de
. Isso cai na matéria de integrais impróprias, onde vamos analisar comportamento assintótico e usar decomposição em frações parciais para calcular e ver se o resultado é finito.
Passo 2
Primeiro, note que o integrando não tem singularidades em
— só precisamos checar o limite quando
. Para grandes
,
, e como
converge, esperamos que nossa integral também seja convergente.
Passo 3
Vamos fazer a decomposição em frações parciais: buscamos constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
e igualando coeficientes, achamos
Passo 4
Agora integramos termo a termo usando antiderivadas conhecidas:
Somando, uma primitiva é
Passo 5
Por fim, aplicamos os limites de 0 até +∞:
Então o valor da integral é
, que é finito, provando que a integral é convergente.
Resposta
Convergente, e seu valor é
.