Derive e simplifique.

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função racional
r(s)=8s^2-41-9s^3
Aqui o conteúdo é a regra do quociente para derivadas, e vamos precisar usar também as derivadas de polinômios simples.

Passo 2

Identificamos numerador e denominador e calculamos suas derivadas:
N(s)=8s^2-4, D(s)=1-9s^3
Derivando cada um:
N'(s)=16s, D'(s)=-27s^2

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
r'(s)=N'(s),D(s)-N(s),D'(s)[D(s)]^2

Passo 4

Substituímos e simplificamos o numerador passo a passo:
N'(s)D(s)=16s(1-9s^3)=16s-144s^4
-,N(s)D'(s)=-(8s^2-4)(-27s^2)=27s^2(8s^2-4)=216s^4-108s^2
Somando:
16s-144s^4+216s^4-108s^2=72s^4-108s^2+16s
Logo,
r'(s)=72s^4-108s^2+16s(1-9s^3)^2

Passo 5

Para finalizar, fatoramos o numerador extraindo 4s em evidência:
72s^4-108s^2+16s=4s(18s^3-27s+4)
Portanto a forma mais simples é apresentada a seguir.

Resposta

r'(s)=4sl(18s^3-27s+4r)(1-9s^3)^2

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