Em cada caso, avalie se a integral é divergente ou convergente:
integral-infty^0 y e^y d y.

Passo 1

Neste exercício vamos analisar a convergência da integral imprópria integral-infty^0 y e^y , dy, que envolve o conceito de integrais com limite de integração infinito e o uso de técnicas de integração por partes.

Passo 2

Para lidar com o limite em -infty, reescrevemos a integral como
integral-infty^0 y e^y , dy = limato -infty integrala^0 y e^y , dy.

Passo 3

Precisamos de uma primitiva de y e^y. Aplicando integração por partes com u = y e dv = e^y , dy (logo du = dy e v = e^y), obtemos
integral y e^y , dy = y e^y - integral e^y , dy = y e^y - e^y + C = (y - 1)e^y + C

Passo 4

Substituindo essa primitiva no limite e avaliando em y=0 e y=a, vem
limato -inftyl[(y-1)e^yr]y=a^y=0 = (0-1)e^0 - limato -infty(a-1)e^a = (0-1)e^0 - 0,

Passo 5

Como limato -infty(a-1)e^a=0, o resultado é um número finito, mostrando que a integral é convergente.

Resposta

Convergente, com valor igual a -1.

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