Esboce e identifique os gráficos das seguintes curvas em coordenadas polares.
© r=4 cos theta

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e identificar a curva definida em coordenadas polares por r=4costheta. O conteúdo é curvas polares e precisaremos usar a conversão entre coordenadas polares e cartesianas, além de analisar o sinal de r para determinar o intervalo de theta.

Passo 2

Em coordenadas polares temos r=4costheta. Usando x=rcostheta e y=rsintheta, temos r^2=x^2+y^2 e costheta=xr. Substituindo na equação:
r=4costhetaimplies r=4xrimplies r^2=4ximplies x^2+y^2=4x

Passo 3

Para reconhecer o tipo de curva, completamos o quadrado em x^2-4x+y^2=0:
x^2-4x+4+y^2=4implies (x-2)^2+y^2=2^2

Passo 4

Isso mostra que a curva é um círculo de raio 2 com centro em (2,0). Como em coordenadas polares precisamos de r>=0, impomos 4costheta>=0, logo costheta>=0, ou seja
-tfracpi2<=theta<=tfracpi2

Passo 5

Para esboçar, marcamos pontos chave: em theta=0, r=4 dando o ponto (4,0); em theta=pmtfracpi2, r=0 no polo. A curva descreve exatamente o semicírculo direito do círculo centralizado em (2,0), mas como r nunca fica negativo, traçamos apenas a parte direita completa.
No esboço, desenhe o eixo x e y, marque o centro em (2,0) com raio 2 e represente apenas o semi-círculo que vai do polo (0,0) até (0,0) passando por (4,0), para -tfracpi2<=theta<=tfracpi2.

Resposta

A curva é um círculo de raio 2, centro em (2,0), descrito para -π/2 ≤ θ ≤ π/2 (o semicírculo direito).

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