Derive e simplifique.

Passo 1

A questão pede para obter a derivada de P(x)=(x+x^-1)^2 e simplificar o resultado. O conteúdo envolvido é derivação usando regra da cadeia e propriedades de potências, além de uma simplificação algébrica.

Passo 2

Primeiro, expandimos o quadrado (x+x^-1)^2 usando (a+b)^2=a^2+2ab+b^2:
P(x) = x^2 + 2cdot xcdot x^-1 + (x^-1)^2 = x^2 + 2 + x^-2

Passo 3

Em seguida, derivamos termo a termo, lembrando que:
  • ddx(x^n)=n,x^n-1
  • a derivada de constante é zero.
    Aplicando isso:
ddx(x^2)=2x, ddx(2)=0, ddx(x^-2)=-2,x^-3

Passo 4

Somando as derivadas dos termos, obtemos:
P'(x)=2x+0-2x^-3=2x-2x^-3

Passo 5

Por fim, podemos fatorar 2 para deixar mais compacto:
P'(x)=2l(x-x^-3r)

Resposta

P'(x)=2(x-x^-3)

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