Escrever, quando possível, cada permutação como produto de 3-ciclos.
\sigma=\left(\begin{array}{ll}1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}3 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}2 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 5\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá a permutação
\sigma=(1\\\ 3)(3\\\ 4)(2\\\ 4)(1\\\ 5)
e pede para escrevê‑la, quando possível, como produto de 3‑ciclos.
Vou usar a convenção padrão de permutações: o produto é composto da direita para a esquerda (ou seja, o fator mais à direita atua primeiro). As informações importantes que temos:
  • Fatores fornecidos: as transposições (1\\\ 5), (2\\\ 4), (3\\\ 4), (1\\\ 3) (nessa ordem da direita para a esquerda).
  • Objetivo: obter uma escrita de \sigma como produto de 3‑ciclos (se possível).

Passo 2

Rápida explicação do que é uma transposição e como ela age (para matar a insegurança):
  • Uma transposição (a\\ b) simplesmente troca a por b e b por a, deixando os demais elementos fixos.
  • Para compor transposições, aplica‑se a mais à direita primeiro. Por exemplo, para ver a imagem de um elemento x por \sigma=(1\\\ 3)(3\\\ 4)(2\\\ 4)(1\\\ 5), aplica‑se (1\\\ 5) a x, depois (2\\\ 4) ao resultado, depois (3\\\ 4), e por fim (1\\\ 3).

Passo 3

Calcular imagem de cada elemento relevante ( 1,2,3,4,5) passo a passo:
  • Imagem de 1:
    1 \xrightarrow{(1\\\ 5)} 5 \xrightarrow{(2\\\ 4)} 5 \xrightarrow{(3\\\ 4)} 5 \xrightarrow{(1\\\ 3)} 5.
    Logo 1\mapsto5.
  • Imagem de 5:
    5 \xrightarrow{(1\\\ 5)} 1 \xrightarrow{(2\\\ 4)} 1 \xrightarrow{(3\\\ 4)} 1 \xrightarrow{(1\\\ 3)} 3.
    Logo 5\mapsto3.
  • Imagem de 3:
    3 \xrightarrow{(1\\\ 5)} 3 \xrightarrow{(2\\\ 4)} 3 \xrightarrow{(3\\\ 4)} 4 \xrightarrow{(1\\\ 3)} 4.
    Logo 3\mapsto4.
  • Imagem de 4:
    4 \xrightarrow{(1\\\ 5)} 4 \xrightarrow{(2\\\ 4)} 2 \xrightarrow{(3\\\ 4)} 2 \xrightarrow{(1\\\ 3)} 2.
    Logo 4\mapsto2.
  • Imagem de 2:
    2 \xrightarrow{(1\\\ 5)} 2 \xrightarrow{(2\\\ 4)} 4 \xrightarrow{(3\\\ 4)} 3 \xrightarrow{(1\\\ 3)} 1.
    Logo 2\mapsto1.

Passo 4

Agrupando as imagens em um ciclo (percorrendo a cadeia a partir de 1):
1\mapsto5\mapsto3\mapsto4\mapsto2\mapsto1,
ou seja, em notação cíclica obtemos o ciclo de comprimento 5
(1\\\ 5\\\ 3\\\ 4\\\ 2).
Observação útil (motivação para poder usar 3‑ciclos): a permutação dada era produto de quatro transposições, logo é uma permutação par; como cada 3‑ciclo é também uma permutação par (um 3‑ciclo é dois transposições), é possível escrever uma permutação par como produto de 3‑ciclos. Assim, não há impedimento de escrevê‑la como produto de 3‑ciclos.

Passo 5

Fórmula padrão para escrever um k-ciclo como produto de 3‑ciclos: para
(a_1\\ a_2\\ \dots\\ a_k) vale
(a_1\\ a_2\\ \dots\\ a_k)=(a_1\\ a_2\\ a_3)(a_1\\ a_3\\ a_4)\cdots(a_1\\ a_{k-1}\\ a_k).
Isto dá uma escrita como produto de k-2 3‑ciclos. Aplicando essa fórmula ao nosso 5‑ciclo (1\\\ 5\\\ 3\\\ 4\\\ 2) (aqui k=5, logo teremos 5-2=3 3‑ciclos):

Passo 6

Aplicando a fórmula:
(1\\\ 5\\\ 3\\\ 4\\\ 2)=(1\\\ 5\\\ 3)(1\\\ 3\\\ 4)(1\\\ 4\\\ 2).
Esta é uma escrita de \sigma como produto de 3‑ciclos (lembrando a convenção de composição direita‑para‑esquerda; a igualdade é a de permutações sob essa convenção). Dá para verificar aplicando os fatores na ordem adequada a qualquer elemento, por exemplo 1\mapsto5 como na verificação feita no Passo 3.

Resposta

\sigma=(1\\\ 5\\\ 3\\\ 4\\\ 2)
\sigma=(1\\\ 5\\\ 3)(1\\\ 3\\\ 4)(1\\\ 4\\\ 2)

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