Escrever, quando possível, cada permutação como produto de 3-ciclos. \sigma=\left(\begin{array}{ll}1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}3 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}2 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 5\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado dá a permutação \sigma=(1\\\ 3)(3\\\ 4)(2\\\ 4)(1\\\ 5)
e pede para escrevê‑la, quando possível, como produto de 3‑ciclos.
Vou usar a convenção padrão de permutações: o produto é composto da direita para a esquerda (ou seja, o fator mais à direita atua primeiro). As informações importantes que temos:
Fatores fornecidos: as transposições (1\\\ 5), (2\\\ 4), (3\\\ 4), (1\\\ 3) (nessa ordem da direita para a esquerda).
Objetivo: obter uma escrita de \sigma como produto de 3‑ciclos (se possível).
Passo 2
Rápida explicação do que é uma transposição e como ela age (para matar a insegurança):
Uma transposição (a\\ b) simplesmente troca a por b e b por a, deixando os demais elementos fixos.
Para compor transposições, aplica‑se a mais à direita primeiro. Por exemplo, para ver a imagem de um elemento x por \sigma=(1\\\ 3)(3\\\ 4)(2\\\ 4)(1\\\ 5), aplica‑se (1\\\ 5) a x, depois (2\\\ 4) ao resultado, depois (3\\\ 4), e por fim (1\\\ 3).
Passo 3
Calcular imagem de cada elemento relevante (1,2,3,4,5) passo a passo:
Agrupando as imagens em um ciclo (percorrendo a cadeia a partir de 1):
1\mapsto5\mapsto3\mapsto4\mapsto2\mapsto1,
ou seja, em notação cíclica obtemos o ciclo de comprimento 5
(1\\\ 5\\\ 3\\\ 4\\\ 2).
Observação útil (motivação para poder usar 3‑ciclos): a permutação dada era produto de quatro transposições, logo é uma permutação par; como cada 3‑ciclo é também uma permutação par (um 3‑ciclo é dois transposições), é possível escrever uma permutação par como produto de 3‑ciclos. Assim, não há impedimento de escrevê‑la como produto de 3‑ciclos.
Passo 5
Fórmula padrão para escrever um k-ciclo como produto de 3‑ciclos: para (a_1\\ a_2\\ \dots\\ a_k) vale
Isto dá uma escrita como produto de k-2 3‑ciclos. Aplicando essa fórmula ao nosso 5‑ciclo (1\\\ 5\\\ 3\\\ 4\\\ 2) (aqui k=5, logo teremos 5-2=3 3‑ciclos):
Esta é uma escrita de \sigma como produto de 3‑ciclos (lembrando a convenção de composição direita‑para‑esquerda; a igualdade é a de permutações sob essa convenção). Dá para verificar aplicando os fatores na ordem adequada a qualquer elemento, por exemplo 1\mapsto5 como na verificação feita no Passo 3.