Em cada caso, calcule a área da região D do plano x y delimitada pelas curvas indicadas:
x=1, x=4, y=-x e y=-raizx.

Passo 1

O enunciado pede a área da região D no plano xy limitada pelas retas x=1, x=4 e pelas curvas y=−x e y=−√x. O conteúdo aqui é área entre curvas, e vamos usar integração para calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, encontramos onde as curvas y=−x e y=−√x se cruzam resolvendo −x = −√x. Isso dá x = √x, logo x^2 = x, com soluções x=0 ou x=1. Como as linhas verticais são x=1 e x=4, nos interessa o ponto de interseção em x=1.

Passo 3

Em seguida, determinamos qual curva está acima no intervalo x∈[1,4]. Comparamos y=−√x e y=−x. Por exemplo, em x=2 temos −√2≈−1,414 e −2, então −√x>−x. Logo y=−√x é a curva superior e y=−x é a curva inferior.

Passo 4

Agora montamos a integral da área entre x=1 e x=4. A área é
[\nA=\int_{1}{4}\bigl(y_{sup}-y_{inf}\bigr),dx=\int_{1}{4}\bigl(-\sqrt{x}-(-x)\bigr),dx=\int_{1}^{4}\bigl(x-\sqrt{x}\bigr),dx\n],pois subtrai-se a função inferior da função superior.
Calculamos a integral termo a termo. Sabemos que
[\n\int x,dx=\tfrac{x^2}{2},\quad\int x{1/2},dx=\tfrac{2}{3}x{3/2}.\n]Assim,
[\n\int_{1}{4}(x-\sqrt{x}),dx=\Bigl[\tfrac{x2}{2}-\tfrac{2}{3}x{3/2}\Bigr]_{1}{4}.\n]

Passo 5

Finalmente, avaliamos nos limites: em x=4 dá 8−16/3=8/3; em x=1 dá 1/2−2/3=−1/6. Subtraindo, A=8/3−(−1/6)=17/6.

Passo 6

Portanto, a área de D é 17/6.

Resposta

17/6

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