Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d x d y
D é a região triangular de vértices (0,0),(1,-1) e (-1,4) ; f=x^2 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular uma integral dupla sobre uma região triangular específica. O conteúdo envolve cálculo de integrais duplas e geometria analítica para entender a região de integração. Vamos precisar entender como descrever a região D em termos de inequações e depois configurar a integral dupla usando essas inequações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região D. Ela é o triângulo formado pelos pontos (0,0), (1,-1) e (-1,4). Para visualizar isso, imagine um triângulo no plano XY com esses três vértices. Vamos precisar encontrar as equações das retas que formam os lados desse triângulo para definir os limites de integração.

Passo 3

Vamos encontrar as equações das retas que ligam os pontos:
  1. Entre (0,0) e (1,-1):
    • A inclinação (m) é .
    • A equação da reta é .
  2. Entre (0,0) e (-1,4):
    • A inclinação (m) é .
    • A equação da reta é .
  3. Entre (1,-1) e (-1,4):
    • A inclinação (m) é .
    • Usando o ponto (1,-1), a equação da reta é , que simplifica para .

Passo 4

Agora que temos as equações das retas, vamos determinar os limites de integração. Vamos integrar em relação a y primeiro (dy) e depois em relação a x (dx). Para isso, precisamos achar os limites de y em função de x.
  • Para de -1 a 0:
    • A reta inferior é .
    • A reta superior é .
  • Para de 0 a 1:
    • A reta inferior é .
    • A reta superior é .

Passo 5

Vamos montar a integral dupla dividindo em duas partes, uma para cada intervalo de x:
integral duplaD f(x, y) , dx , dy = integral-1^0 integral-4x^-x x^2 y^2 , dy , dx + integral0^1 integral-x^-52x + 32 x^2 y^2 , dy , dx

Passo 6

Vamos resolver a primeira integral:
integral-1^0 integral-4x^-x x^2 y^2 , dy , dx
Integramos em relação a y:
x^2 integral-4x^-x y^2 , dy = x^2 [ y^33 ]-4x^-x = x^2 ( (-x)^33 - (-4x)^33 )
= x^2 ( -x^33 - -64x^33 ) = x^2 ( 63x^33 ) = 21x^5
Agora, integramos em relação a x:
integral-1^0 21x^5 , dx = 21 [ x^66 ]-1^0 = 21 ( 0 - (-1)^66 ) = -216 = -3.5

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral0^1 integral-x^-52x + 32 x^2 y^2 , dy , dx
Integramos em relação a y:
x^2 integral-x^-52x + 32 y^2 , dy = x^2 [ y^33 ]-x^-52x + 32
= x^2 ( (-52x + 32)^33 - (-x)^33 )
Esse cálculo pode ser um pouco complexo, mas ao expandir e simplificar, obtemos:
= x^2 ( -1258x^3 + 1358x^2 - 818x + 2783 - -x^33 )
= x^2 ( -12524x^3 + 13524x^2 - 8124x + 2724 + x^33 )
= x^2 ( -12524x^3 + 13524x^2 - 8124x + 2724 + 824x^3 )
= x^2 ( -11724x^3 + 13524x^2 - 8124x + 2724 )
= x^2 ( -398x^3 + 458x^2 - 278x + 98 )
= -398x^5 + 458x^4 - 278x^3 + 98x^2
Agora, integramos em relação a x:
integral0^1 ( -398x^5 + 458x^4 - 278x^3 + 98x^2 ) dx
= -398 cdot x^66 + 458 cdot x^55 - 278 cdot x^44 + 98 cdot x^33 gr|0^1
= -3948 + 4540 - 2732 + 924
= -1316 + 98 - 2732 + 38
= -2632 + 3632 - 2732 + 1232
= (-26 + 36 - 27 + 12) / 32 = (-26 + 36) + (-27 + 12) / 32 = 10 - 15 / 32 = -5 / 32

Resposta

A integral dupla sobre a região D é igual a .

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