Em cada caso, calcule a área da região D do plano x y delimitada pelas curvas indicadas:
x=1, x=2, y=-x^2 e y=1 / x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região no plano , que é delimitada pelas curvas , , e . Para isso, vamos utilizar a integração, que faz parte do cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar como essas curvas se comportam no intervalo de a . As linhas verticais e indicam os limites laterais da nossa região. As funções e vão definir os limites superior e inferior dessa região.

Passo 3

Para encontrar a área entre duas curvas, precisamos saber qual delas está por cima da outra no intervalo considerado. Vamos comparar os valores das funções e para alguns pontos entre e .

Passo 4

Vamos ver em :
E em :
Em ambos os casos, está acima de .

Passo 5

Agora que sabemos que Área = integrala^b (ysuperior - yinferior) , dx está acima de no intervalo de a , podemos configurar a integral para encontrar a área. A fórmula geral para a área entre duas curvas e de a é:
Á

Passo 6

Aplicando as funções que temos:
Área = integral1^2 ( 1x^2 - (-x^2) ) dx = integral1^2 ( 1x^2 + x^2 ) dx Á

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x^2 , dx = integral x^-2 , dx = -x^-1 + C = -1x + C
integral x^2 , dx = x^33 + C

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
[ -1x + x^33 ]1^2 = ( -12 + 83 ) - ( -1 + 13 )

Passo 9

Calculando os valores:
( -12 + 83 ) = -3 + 166 = 136
( -1 + 13 ) = -3 + 13 = -23
Assim:
136 - ( -23 ) = 136 + 23 = 136 + 46 = 176

Resposta

A área da região é unidades de área.

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