Em cada caso, calcule a área da região
do plano
delimitada pelas curvas indicadas:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região
no plano
, que é delimitada pelas curvas
,
,
e
. Para isso, vamos utilizar a integração, que faz parte do cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar como essas curvas se comportam no intervalo de
a
. As linhas verticais
e
indicam os limites laterais da nossa região. As funções
e
vão definir os limites superior e inferior dessa região.
Passo 3
Para encontrar a área entre duas curvas, precisamos saber qual delas está por cima da outra no intervalo considerado. Vamos comparar os valores das funções
e
para alguns pontos entre
e
.
Passo 4
Vamos ver em
:
E em
:
Em ambos os casos,
está acima de
.
Passo 5
Agora que sabemos que
está acima de
no intervalo de
a
, podemos configurar a integral para encontrar a área. A fórmula geral para a área entre duas curvas
e
de
a
é:
Passo 6
Aplicando as funções que temos:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
Passo 9
Calculando os valores:
Assim:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.