Um investidor decidiu investir todo seu capital nas ações 1,2 e 3. Determine o percentual do capital que deve ser alocado em cada ação de forma que o risco do investimento seja mínimo. Considere como matriz de covariâncias
M=(sigmai j)=[ccc 1 & 1 / 2 & 1 / 2 1 / 2 & 1 & 1 / 2 1 / 2 & 1 / 2 & 1 ]

Passo 1

O investidor quer minimizar o risco (variância) de um portfólio alocando frações x₁,x₂,x₃ em cada ação, com a matriz de covariâncias dadas por M=(σij) e sujeito à restrição x₁+x₂+x₃=1. Isso é um problema clássico de otimização de portfólio sem retorno mínimo, que resolve:

Passo 2

Formamos a função Lagrangeana para minimizar x^T M x com restrição sumi xi=1:
L(x,lambda)=x^T M x-lambdal(sumi=1^3 xi-1r)

Passo 3

As condições de ótimos (derivadas parciais) dão
nablax L=2M x-lambda1=0Rightarrow M x=lambda2,1, onde 1=(1,1,1)^T. Assim
$$x=\frac{\lambda}{2}M^{-1}\mathbf{1}.
$$

Passo 4

Impondo sumi xi=1 resulta
sumi xi=lambda2,1^T M^-11=1 Rightarrow lambda2=11^T M^-11

Passo 5

Logo a solução geral é
$$x=\frac{M{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}T M^{-1}\mathbf{1}}.
$$

Passo 6

Para calcular M^-1, note que
$$M=\frac12 J+\frac12 I,
$$ onde M=12 J+12 I, é a matriz 3×3 de uns. Usa-se a fórmula de inversa de soma de matriz identidade e J:
$$M^{-1}=2I-\frac12J.
$$

Passo 7

Então
$$M^{-1}\mathbf{1}=(2I-\tfrac12J)\mathbf{1}=2\mathbf{1}-\tfrac12(3\mathbf{1})=\tfrac12\mathbf{1},
$$ e
$$\mathbf{1}^T M^{-1}\mathbf{1}=3\times\tfrac12=\tfrac32.
$$

Passo 8

Portanto
$$x=\frac{(1/2)\mathbf{1}}{3/2}=\frac{1}{3},(1,1,1)^T.
$$

Resposta

O risco mínimo é obtido alocando-se tfrac13 do capital em cada uma das ações.

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