Um investidor decidiu investir todo seu capital nas ações 1,2 e 3. Determine o percentual do capital que deve ser alocado em cada ação de forma que o risco do investimento seja mínimo. Considere como matriz de covariâncias
Passo 1
O investidor quer minimizar o risco (variância) de um portfólio alocando frações x₁,x₂,x₃ em cada ação, com a matriz de covariâncias dadas por M=(σij) e sujeito à restrição x₁+x₂+x₃=1₁₂₃. Isso é um problema clássico de otimização de portfólio sem retorno mínimo, que resolve:
Passo 2
Formamos a função Lagrangeana para minimizar x^T M x com restrição sumi xi=1:
L(x,lambda)=x^T M x-lambdal(sumi=1^3 xi-1r)
Passo 3
As condições de ótimos (derivadas parciais) dão
nablax L=2M x-lambda1=0Rightarrow M x=lambda2,1, onde 1=(1,1,1)^T. Assim