Determine os pontos de máximo e mínimo (locais e absolutos) e os pontos de sela, se existirem, das funções:
(a) f(x, y)=x^3+y^3-3 x-3 y+4
(b) z=sin ^2 x+12 y^2
© f(x, y)=3 x y^2+x^3-3 x
(d) f(x, y)=3 x^4+2 y^4
(e) f(x, y)=x^2+4 y^2-4 x y+2

Passo 1

Vamos primeiro entender o que o problema pede: para cada função de duas variáveis, encontraremos os pontos críticos resolvendo ∇f=0, depois usaremos a matriz Hessiana para classificar cada ponto como mínimo local, máximo local ou ponto de sela, e por fim verificaremos casos de extremos absolutos.

Passo 2

Função (a): f(x,y)=x³+y³−3x−3y+4. Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
fx=3x^2-3=0 fy=3y^2-3=0
Dá x=±1 e y=±1, logo quatro pontos críticos: (1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1). A Hessiana é diagonal com f_{xx}=6x e f_{yy}=6y. Classificação:
“”"
(1,1): f_{xx}=6>0,f_{yy}=6>0 ⇒ mínimo local;
(-1,-1): f_{xx}=-6<0,f_{yy}=-6<0 ⇒ máximo local;
(1,-1) e (-1,1): sinais mistos ⇒ sela.
“”"
Não há extremos absolutos porque a função é cubica e vai a ±∞.

Passo 3

Para (b): z=sin²x+½y². Derivadas:
fx=sin2x=0 ⇒2x=kπ ⇒ x=kπ/2 fy=y=0
Hessiana diagonal com f_{xx}=2\cos2x e f_{yy}=1. Classificação:
“”"
Para x=kπ ⇒ f_{xx}=2>0 e f_{yy}>0 ⇒ mínimo local e absoluto (valor 0).
Para x=π/2+kπ ⇒ f_{xx}=-2<0,f_{yy}>0 ⇒ ponto de sela.
“”"
Sem máximos, valor cresce sem limite.

Passo 4

Para ©: f=3xy²+x³−3x. Derivadas:
fx=3y^2+3x^2-3=0 ⇒ x^2+y^2=1 fy=6xy=0
De f_y=0 vem x=0 ou y=0. Isso gera quatro pontos: (0,±1) e (±1,0). Hessiana: f_{xx}=6x, f_{yy}=6x, f_{xy}=6y. Classificação:
“”"
(0,±1): Hessiana indefinida (det<0) ⇒ sela;
(1,0): f_{xx}=6>0,det>0 ⇒ mínimo local (f(1,0)=-2);
(-1,0): f_{xx}=-6<0,det>0 ⇒ máximo local (f(-1,0)=2).
“”"
Sem extremos absolutos.

Passo 5

Para (d): f=3x⁴+2y⁴. Derivadas: fx=12x³=0 ⇒ x=0; fy=8y³=0⇒y=0. Único crítico em (0,0). Hessiana nula ali, mas como f(x,y)≥0 e f(0,0)=0, há mínimo global em (0,0). Nada mais.

Passo 6

Para (e): f=x²+4y²−4xy+2. Derivadas:
fx=2x-4y=0 ⇒ x=2y fy=8y-4x=0 ⇒ mesma reta x=2y
Todos os pontos da reta x=2y são críticos. Reescrevendo f=(x-2y)²+2≥2, vale 2 exatamente quando x=2y. Logo são mínimos absolutos (também locais) sobre toda essa reta. Sem máximos nem pontos de sela.

Resposta

(a) Pontos críticos: (1,1) mínimo local; (-1,-1) máximo local; (1,-1) e (-1,1) pontos de sela. Sem extremos absolutos.
(b) Pontos críticos: (kπ,0) com k∈ℤ são mínimos locais e absolutos (valor 0); (π/2+kπ,0) são pontos de sela. Sem máximos.
© Pontos críticos: (1,0) mínimo local (f=-2); (-1,0) máximo local (f=2); (0,±1) sela. Sem extremos absolutos.
(d) Único crítico (0,0), mínimo global (f=0). Sem máximos nem sela.
(e) Retta crítica x=2y, mínimos absolutos e locais (f=2). Sem máximos nem sela.

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