Determine os pontos de máximo e mínimo (locais e absolutos) e os pontos de sela, se existirem, das funções:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Vamos primeiro entender o que o problema pede: para cada função de duas variáveis, encontraremos os pontos críticos resolvendo ∇f=0, depois usaremos a matriz Hessiana para classificar cada ponto como mínimo local, máximo local ou ponto de sela, e por fim verificaremos casos de extremos absolutos.
Passo 2
Função (a): f(x,y)=x³+y³−3x−3y+4. Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Dá x=±1 e y=±1, logo quatro pontos críticos: (1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1). A Hessiana é diagonal com f_{xx}=6x e f_{yy}=6y. Classificação:
“”"
(1,1): f_{xx}=6>0,f_{yy}=6>0 ⇒ mínimo local;
(-1,-1): f_{xx}=-6<0,f_{yy}=-6<0 ⇒ máximo local;
(1,-1) e (-1,1): sinais mistos ⇒ sela.
“”"
Não há extremos absolutos porque a função é cubica e vai a ±∞.
“”"
(1,1): f_{xx}=6>0,f_{yy}=6>0 ⇒ mínimo local;
(-1,-1): f_{xx}=-6<0,f_{yy}=-6<0 ⇒ máximo local;
(1,-1) e (-1,1): sinais mistos ⇒ sela.
“”"
Não há extremos absolutos porque a função é cubica e vai a ±∞.
Passo 3
Para (b): z=sin²x+½y². Derivadas:
Hessiana diagonal com f_{xx}=2\cos2x e f_{yy}=1. Classificação:
“”"
Para x=kπ ⇒ f_{xx}=2>0 e f_{yy}>0 ⇒ mínimo local e absoluto (valor 0).
Para x=π/2+kπ ⇒ f_{xx}=-2<0,f_{yy}>0 ⇒ ponto de sela.
“”"
Sem máximos, valor cresce sem limite.
“”"
Para x=kπ ⇒ f_{xx}=2>0 e f_{yy}>0 ⇒ mínimo local e absoluto (valor 0).
Para x=π/2+kπ ⇒ f_{xx}=-2<0,f_{yy}>0 ⇒ ponto de sela.
“”"
Sem máximos, valor cresce sem limite.
Passo 4
Para ©: f=3xy²+x³−3x. Derivadas:
De f_y=0 vem x=0 ou y=0. Isso gera quatro pontos: (0,±1) e (±1,0). Hessiana: f_{xx}=6x, f_{yy}=6x, f_{xy}=6y. Classificação:
“”"
(0,±1): Hessiana indefinida (det<0) ⇒ sela;
(1,0): f_{xx}=6>0,det>0 ⇒ mínimo local (f(1,0)=-2);
(-1,0): f_{xx}=-6<0,det>0 ⇒ máximo local (f(-1,0)=2).
“”"
Sem extremos absolutos.
“”"
(0,±1): Hessiana indefinida (det<0) ⇒ sela;
(1,0): f_{xx}=6>0,det>0 ⇒ mínimo local (f(1,0)=-2);
(-1,0): f_{xx}=-6<0,det>0 ⇒ máximo local (f(-1,0)=2).
“”"
Sem extremos absolutos.
Passo 5
Para (d): f=3x⁴+2y⁴. Derivadas: fx=12x³=0 ⇒ x=0; fy=8y³=0⇒y=0. Único crítico em (0,0). Hessiana nula ali, mas como f(x,y)≥0 e f(0,0)=0, há mínimo global em (0,0). Nada mais.
Passo 6
Para (e): f=x²+4y²−4xy+2. Derivadas:
Todos os pontos da reta x=2y são críticos. Reescrevendo f=(x-2y)²+2≥2, vale 2 exatamente quando x=2y. Logo são mínimos absolutos (também locais) sobre toda essa reta. Sem máximos nem pontos de sela.
Resposta
(a) Pontos críticos: (1,1) mínimo local; (-1,-1) máximo local; (1,-1) e (-1,1) pontos de sela. Sem extremos absolutos.
(b) Pontos críticos: (kπ,0) com k∈ℤ são mínimos locais e absolutos (valor 0); (π/2+kπ,0) são pontos de sela. Sem máximos.
© Pontos críticos: (1,0) mínimo local (f=-2); (-1,0) máximo local (f=2); (0,±1) sela. Sem extremos absolutos.
(d) Único crítico (0,0), mínimo global (f=0). Sem máximos nem sela.
(e) Retta crítica x=2y, mínimos absolutos e locais (f=2). Sem máximos nem sela.