Em cada caso, calcule a área do setor circular de raio r e ângulo central de medida \theta.
r=4 \mathrm{me} \theta=30^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Raio: r=4\\ \mathrm{m}.
  • Ângulo central: \theta=30^\circ.
  • Pedido: calcular a área do setor circular correspondente a esse raio e esse ângulo.

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • A área de um círculo inteiro de raio r é
A_{\text{círculo}}=\pi r^{2}.í
  • Um setor com ângulo \theta corresponde a uma fração do círculo igual a \dfrac{\theta}{2\pi}, desde que \theta esteja em radianos. Então a área do setor é
A_{\text{setor}} = A_{\text{círculo}}\cdot \frac{\theta}{2\pi} = \pi r^{2}\cdot\frac{\theta}{2\pi}.í
  • Simplificando a expressão acima obtemos a forma prática, usada com \theta em radianos:
A_{\text{setor}}=\frac{1}{2}r^{2}\theta.
Observação importante: a fórmula \dfrac{1}{2}r^{2}\theta exige que \theta esteja em radianos. Se \theta estiver em graus, converte-se para radianos antes de aplicar.

Passo 3

Converter o ângulo de graus para radianos. A relação é
1^\circ = \frac{\pi}{180}\\ \text{rad}.
Portanto
30^\circ = 30\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{30\pi}{180}=\frac{\pi}{6}\\ \text{rad}.

Passo 4

Aplicar a fórmula com os valores convertidos.
Primeiro calcule r^{2}:
r^{2}=4^{2}=16.
Agora use
A_{\text{setor}}=\frac{1}{2}r^{2}\theta=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot \frac{\pi}{6}.

Passo 5

Fazer as simplificações passo a passo:
\frac{1}{2}\cdot 16\cdot \frac{\pi}{6}=8\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{8\pi}{6}=\frac{4\pi}{3}.
Colocando a unidade de área,
A_{\text{setor}}=\frac{4\pi}{3}\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 6

Verificação alternativa (maneira prática com graus): a fração do círculo é \dfrac{30^\circ}{360^\circ}=\dfrac{1}{12}. A área do setor seria
A_{\text{setor}}=\pi r^{2}\cdot\frac{1}{12}=\pi\cdot 16\cdot\frac{1}{12}=\frac{16\pi}{12}=\frac{4\pi}{3}\\ \mathrm{m}^{2},
mesmo resultado — bom sinal!

Resposta

\dfrac{4\pi}{3}\\ \mathrm{m}^{2}

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