Em cada caso, calcule o comprimento do arco
indicado:
(d)
.
(resp.
)
(d)
(resp.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica γ dada por x(t)=t cos t e y(t)=t sen t para 0≤t≤π/4. Vamos usar a fórmula de comprimento de arco para curvas paramétricas: L=∫ₐᵇ√((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt.
Passo 2
Calculamos as derivadas: dx/dt=cos t−t sen t e dy/dt=sen t+t cos t. Esse passo usa a regra do produto e a derivada de funções trigonométricas.
Passo 3
Montamos o integrando:
Verificamos que
[(dx/dt)²+(dy/dt)²=(cos t−t sen t)²+(sen t+t cos t)²=cos²t+sin²t+t²(sin²t+cos²t)=1+t²]
Nesse passo usamos a identidade trigonométrica cos²t+sin²t=1.
Verificamos que
[(dx/dt)²+(dy/dt)²=(cos t−t sen t)²+(sen t+t cos t)²=cos²t+sin²t+t²(sin²t+cos²t)=1+t²]
Nesse passo usamos a identidade trigonométrica cos²t+sin²t=1.
Passo 4
Portanto o comprimento de arco é
[L=∫₀^{π/4}√(1+t²) dt]
Reconhecemos a integral como integral padrão de √(1+t²).
[L=∫₀^{π/4}√(1+t²) dt]
Reconhecemos a integral como integral padrão de √(1+t²).
Passo 5
Sabemos que uma primitiva de √(1+t²) é
[F(t)=½ t√(1+t²)+½ arcsinh t]
onde arcsinh t=ln(t+√(1+t²)).
[F(t)=½ t√(1+t²)+½ arcsinh t]
onde arcsinh t=ln(t+√(1+t²)).
Passo 6
Agora avaliamos nos limites t=0 e t=π/4: substituindo em F(t) e fazendo F(π/4)−F(0). Isso dá
[L=½\bigl(\tfrac{π}{4}√(1+(π/4)²)+arcsinh(π/4)\bigr)
=\frac{π}{32}√(16+π²)+\frac12 arcsinh\bigl(\tfracπ4\bigr)]
[L=½\bigl(\tfrac{π}{4}√(1+(π/4)²)+arcsinh(π/4)\bigr)
=\frac{π}{32}√(16+π²)+\frac12 arcsinh\bigl(\tfracπ4\bigr)]
Resposta
\frac{π}{32}\sqrt{16+π²}+\frac12\operatorname{arcsinh}\bigl(\tfracπ4\bigr)