Calcule as seguintes integrais:
integral sen^5(x) cos ^4(x) d x
R:-cos (x)^99+2 cos (x)^77-cos (x)^55+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral sin^5(x)cos^4(x),dx. O conteúdo aqui é integração de potências de funções trigonométricas, e vamos precisar usar a estratégia de separar um sin(x) para fazer a substituição e usar identidades como sin^2(x)=1-cos^2(x).

Passo 2

Para aproveitar que sin^5(x) tem potência ímpar, escrevo sin^5(x)=sin^4(x)sin(x) e uso sin^2(x)=1-cos^2(x):
sin^5(x)cos^4(x)=l(sin^2(x)r)^2sin(x)cos^4(x)=l(1-cos^2(x)r)^2cos^4(x),sin(x)
Agora faço a substituição u=cos(x), logo du=-sin(x),dx.

Passo 3

A integral vira
integralsin^5(x)cos^4(x),dx=integral l(1-u^2r)^2u^4,(-du)=-integrall(u^4-2u^6+u^8r),du
(espaço a expansão (1-u^2)^2u^4=u^4-2u^6+u^8).

Passo 4

Integro termo a termo:
-integrall(u^4-2u^6+u^8r)du=-l(u^55-2u^77+u^99r)+C
Substituo u=cos(x) de volta e reorganizo:
-cos^5(x)5+2cos^7(x)7-cos^9(x)9+C
Essa expressão é equivalente à resposta dada. Na forma ordenada de potências decrescentes fica:

Resposta

-\frac{\cos9(x)}{9}+2\frac{\cos7(x)}{7}-\frac{\cos^5(x)}{5}+C

Exercícios relacionados