Em cada caso, calcule o comprimento do arco
indicado:
.
Passo 1
A questão pede o comprimento de arco da curva parametrizada por x=½t²+t e y=½t²–t para 0≤t≤1. Isso é um problema de comprimento de curva em coordenadas paramétricas. Vamos usar a fórmula do comprimento de arco e precisar dos derivados de x e y em relação a t.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas:
Em seguida, somamos os quadrados para obter o integrando da fórmula de comprimento de arco:
Logo, a raiz fica
Passo 3
Agora, aplicamos a fórmula do comprimento de arco:
Para integrar
, usamos o primitivo conhecido:
Passo 4
Agora avaliamos de 0 a 1 e simplificamos:
No limite t=1:
No limite t=0 a parte logarítmica vira
e a parte algébrica é zero. Então
Resposta
1+\frac{\sqrt{2}}{2}\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)