Em cada caso, calcule o comprimento do arco gamma indicado:
gamma: x=12 t^2+t, y=12 t^2-t, 0 <= t <= 1.

Passo 1

A questão pede o comprimento de arco da curva parametrizada por x=½t²+t e y=½t²–t para 0≤t≤1. Isso é um problema de comprimento de curva em coordenadas paramétricas. Vamos usar a fórmula do comprimento de arco e precisar dos derivados de x e y em relação a t.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas:
dxdt=t+1,
dydt=t-1
Em seguida, somamos os quadrados para obter o integrando da fórmula de comprimento de arco:
l(dxdtr)^2+l(dydtr)^2=(t+1)^2+(t-1)^2=2t^2+2=2(t^2+1)
Logo, a raiz fica raiz2(t^2+1)=raiz2,raizt^2+1

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula do comprimento de arco:
L=integral0^1raizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2,dt =raiz2integral0^1raizt^2+1,dt
Para integrar raizt^2+1, usamos o primitivo conhecido:
integralraizt^2+1,dt=traizt^2+12+12lnl(t+raizt^2+1r)+C

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a 1 e simplificamos:
L=raiz2gl[traizt^2+12+12lnl(t+raizt^2+1r)gr]0^1
No limite t=1:
1cdotraiz22+12ln(1+raiz2)=raiz22+12ln(1+raiz2)
No limite t=0 a parte logarítmica vira ln1=0 e a parte algébrica é zero. Então
L=raiz2l(raiz22+12ln(1+raiz2)r)=1+raiz22ln(1+raiz2)

Resposta

1+\frac{\sqrt{2}}{2}\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)

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