Em cada caso, calcule o comprimento do arco
indicado:
.
Passo 1
O enunciado pede pra calcular o comprimento de arco da curva parametrizada por x=cos(2t) e y=sen²(t) no intervalo 0≤t≤π. O conteúdo aqui é comprimento de curva no plano, e vamos precisar usar a fórmula
Passo 2
Começamos derivando x e y em relação a t. Para x(t)=cos(2t) temos
e para y(t)=sen²(t) usamos a regra da cadeia:
Passo 3
Agora montamos o integrando: somamos os quadrados das derivadas:
Logo a velocidade é
Passo 4
Precisamos agora lidar com o valor absoluto. No intervalo [0,π] a função sen(2t) é não negativa em [0,π/2] e não positiva em [π/2,π]. Assim
Passo 5
Basta calcular cada integral. Sabendo que
, temos
Portanto a soma é 1–(–1)=2 e
Resposta
2\sqrt{5}