Em cada caso, calcule o comprimento do arco gamma indicado:
gamma: x=cos (2 t), y=sen^2 t, 0 <= t <= pi.

Passo 1

O enunciado pede pra calcular o comprimento de arco da curva parametrizada por x=cos(2t) e y=sen²(t) no intervalo 0≤t≤π. O conteúdo aqui é comprimento de curva no plano, e vamos precisar usar a fórmula
L=integrala^braizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2,dt

Passo 2

Começamos derivando x e y em relação a t. Para x(t)=cos(2t) temos
dxdt=-2,sen(2t)
e para y(t)=sen²(t) usamos a regra da cadeia:
dydt=2,sen(t)cdot cos(t)=sen(2t)

Passo 3

Agora montamos o integrando: somamos os quadrados das derivadas:
l(dxdtr)^2+l(dydtr)^2=(-2,sen(2t))^2+(sen(2t))^2=4,sen^2(2t)+sen^2(2t)=5,sen^2(2t)
Logo a velocidade é
raiz5,sen^2(2t)=raiz5,|sen(2t)|

Passo 4

Precisamos agora lidar com o valor absoluto. No intervalo [0,π] a função sen(2t) é não negativa em [0,π/2] e não positiva em [π/2,π]. Assim
L=integral0^πraiz5,|sen(2t)|,dt=raiz5l(integral0^pi/2sen(2t),dt-integralpi/2^π sen(2t),dtr)

Passo 5

Basta calcular cada integral. Sabendo que integral sen(2t),dt=-tfrac12cos(2t), temos
integral0^pi/2sen(2t),dt=1,
integralpi/2^π sen(2t),dt=-1
Portanto a soma é 1–(–1)=2 e
L=raiz5times2=2raiz5

Resposta

2\sqrt{5}

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