Use a transformada de Laplace para resolver os PVIs a seguir:
y^prime prime prime prime-4 y=0, y(0)=y^prime(0)=y^prime prime prime(0)=0, y^prime prime(0)=1

Passo 1

Nesse exercício, a gente vai usar a transformada de Laplace para resolver o PVI y''''(t)-4y(t)=0, com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0, y''(0)=1 e y'''(0)=0. O conteúdo envolve as propriedades de transformada de derivadas e as inversas que geram cosh(at) e cos(at).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo. Usando
Ly''''(t)=s^4Y(s)-s^3y(0)-s^2y'(0)-s y''(0)-y'''(0),
e Ly(t)=Y(s). Substituindo y(0)=0, y'(0)=0, y''(0)=1, y'''(0)=0, temos
s^4Y(s)-s-4Y(s)=0

Passo 3

Isolando Y(s), obtemos
Y(s)(s^4-4)=s Longrightarrow Y(s)=ss^4-4

Passo 4

Para decompor em frações parciais, note que s^4-4=(s^2-2)(s^2+2). Escrevemos
s(s^2-2)(s^2+2)=Ass^2-2+Bss^2+2 Igualando numeradores, chegamos a A=1/4 e B=-1/4. Assim
Y(s)=14ss^2-2-14ss^2+2

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa. Sabendo que
L^-1s/(s^2-a^2)=cosh(at) e
L^-1s/(s^2+a^2)=cos(at), obtemos
y(t)=14cosh(raiz2,t)-14cos(raiz2,t)

Resposta

y(t)=tfrac14l(cosh(raiz2,t)-cos(raiz2,t))

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