Use a transformada de Laplace para resolver os PVIs a seguir:
y^prime+3 y=x sen(a x), y(0)=-1

Passo 1

Nesta questão vamos usar transformada de Laplace para resolver o PVI y'(x) + 3y(x) = xsin(ax) com y(0)=-1. O conteúdo envolve propriedades de transformada de derivada, cálculo de Lxsin(ax) e teorema da convolução para inverter o produto de transformadas.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO e usamos Ly'(x) = sY(s) - y(0) e Ly(x) = Y(s). Assim,
sY(s) - (-1) + 3Y(s) = Lxsin(ax)
o que dá
(s+3)Y(s) + 1 = Lxsin(ax)

Passo 3

Para calcular Lxsin(ax) usamos a propriedade Lt f(t) = -F'(s). Como Lsin(ax) = as^2 + a^2, derivamos em relação a s e obtemos
Lxsin(ax) = -ddsl(as^2 + a^2r) = 2as(s^2 + a^2)^2

Passo 4

Substituindo de volta e isolando Y(s) vem
Y(s) = 1s+3l(2as(s^2 + a^2)^2 - 1r) = 2as(s^2 + a^2)^2,(s+3) - 1s+3

Passo 5

Para inverter em duas partes escrevemos
y(x) = L^-1l2as(s^2 + a^2)^2(s+3)r - L^-1l1s+3r

Passo 6

A segunda peça é imediata:
L^-1l1s+3r = e^-3x

Passo 7

A primeira é produto de 2as(s^2+a^2)^2, que é Lxsin(ax), por 1s+3, que é Le^-3x. Invocando a convolução,
L^-1lF(s)G(s)r = integral0^x f(x-t)g(t),dt,
temos
y1(x)=integral0^x e^-3(x-t),tsin(at),dt

Passo 8

Para calcular essa integral fatoramos e^-3x e fazemos integração por partes em
I(x)=integral0^x t e^3tsin(at),dt,
obtendo após contas (duas integrações por partes e avaliação em 0 e x)
I(x)=e^3x(9+a^2)^2l[x(3sin(ax)-acos(ax))(9+a^2)-l((9-a^2)sin(ax)-6acos(ax)r)r]-6a(9+a^2)^2

Passo 9

Multiplicando por e^-3x e juntando com -e^-3x, chega-se à forma fechada:
y(x)=xl(3sin(ax)-acos(ax)r)9+a^2-(9-a^2)sin(ax)-6acos(ax)(9+a^2)^2-l(1+6a(9+a^2)^2r)e^-3x

Resposta

y(x)=\dfrac{x\bigl(3\sin(ax)-a\cos(ax)\bigr)}{9+a2}-\dfrac{(9-a2)\sin(ax)-6a\cos(ax)}{(9+a2)2}-\Bigl(1+\dfrac{6a}{(9+a2)2}\Bigr)e^{-3x}

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