Use a transformada de Laplace para resolver os PVIs a seguir:
Passo 1
Nesta questão vamos usar transformada de Laplace para resolver o PVI
com
. O conteúdo envolve propriedades de transformada de derivada, cálculo de
e teorema da convolução para inverter o produto de transformadas.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO e usamos
e
. Assim,
o que dá
Passo 3
Para calcular
usamos a propriedade
. Como
, derivamos em relação a
e obtemos
Passo 4
Substituindo de volta e isolando
vem
Passo 5
Para inverter em duas partes escrevemos
Passo 6
A segunda peça é imediata:
Passo 7
A primeira é produto de
, que é
, por
, que é
. Invocando a convolução,
temos
Passo 8
Para calcular essa integral fatoramos
e fazemos integração por partes em
obtendo após contas (duas integrações por partes e avaliação em 0 e
)
Passo 9
Multiplicando por
e juntando com
, chega-se à forma fechada:
Resposta
y(x)=\dfrac{x\bigl(3\sin(ax)-a\cos(ax)\bigr)}{9+a2}-\dfrac{(9-a2)\sin(ax)-6a\cos(ax)}{(9+a2)2}-\Bigl(1+\dfrac{6a}{(9+a2)2}\Bigr)e^{-3x}