Em cada caso, calcule o comprimento do arco gamma indicado:
gamma: x=t cos t, y=t sen t, 0 <= t <= pi / 4.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco de uma curva paramétrica dada por x=t cos t, y=t sen t para 0≤t≤π/4. O conteúdo é comprimento de arco de curva paramétrica, e vamos usar a fórmula L=∫ₐᵇ√((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas: dx/dt=cos t−t sen t e dy/dt=sen t+t cos t. Em seguida elevamos ao quadrado e somamos: (dx/dt)²+(dy/dt)²=(cos t−t sen t)²+(sen t+t cos t)². Ao expandir e usar sen²t+cos²t=1, vemos que o resultado é 1+t².

Passo 3

Assim o comprimento de arco vira L=∫₀^{π/4}√(1+t²) dt.

Passo 4

Para integrar √(1+t²) usamos a primitiva padrão
∫√(1+t²) dt= t2√(1+t²)+12lnl(t+√(1+t²)r)+C ²²²
Essa fórmula pode ser obtida via substituição trigonométrica ou hiperbólica.

Passo 5

Avaliamo-la entre t=0 e t=π/4. No limite superior t=π/4 obtemos
π8√l(1+π²16r)+12lnl(π4+√l(1+π²16r)r),²²
no limite inferior dá zero. Portanto esse é o comprimento do arco.

Resposta

L=piraiz16+pi^232+12lnl(pi+raiz16+pi^24r)

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