Em cada caso, calcule o comprimento do arco
indicado:
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco de uma curva paramétrica dada por x=t cos t, y=t sen t para 0≤t≤π/4. O conteúdo é comprimento de arco de curva paramétrica, e vamos usar a fórmula L=∫ₐᵇ√((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas: dx/dt=cos t−t sen t e dy/dt=sen t+t cos t. Em seguida elevamos ao quadrado e somamos: (dx/dt)²+(dy/dt)²=(cos t−t sen t)²+(sen t+t cos t)². Ao expandir e usar sen²t+cos²t=1, vemos que o resultado é 1+t².
Passo 3
Assim o comprimento de arco vira L=∫₀^{π/4}√(1+t²) dt.
Passo 4
Para integrar √(1+t²) usamos a primitiva padrão
Essa fórmula pode ser obtida via substituição trigonométrica ou hiperbólica.
Passo 5
Avaliamo-la entre t=0 e t=π/4. No limite superior t=π/4 obtemos
no limite inferior dá zero. Portanto esse é o comprimento do arco.