Em cada caso, calcule o comprimento do arco gamma indicado:
© gamma: x=2(1-sen t), y=2(1-cos t), 0 <= t <= pi.
(resp. 2 pi )

Passo 1

Estamos lidando com o comprimento de arco de uma curva paramétrica gamma(t) dada por
x = 2(1 - sin t), y = 2(1 - cos t)
e queremos o comprimento nos intervalos tin[0,pi] e tin[0,2pi]. Para isso, usamos a fórmula
L = integralt0^t1 raiz(x'(t))^2 + (y'(t))^2,dt

Passo 2

Calculamos as derivadas:
x'(t) = ddtl[2(1 - sin t)r] = -2cos t, y'(t) = ddtl[2(1 - cos t)r] = 2sin t

Passo 3

O módulo da velocidade é
raiz(x'(t))^2 + (y'(t))^2 = raiz4cos^2 t + 4sin^2 t = raiz4 = 2
Logo o comprimento de arco fica
L = integralt0^t1 2,dt

Passo 4

Integrando de forma geral, se o intervalo for [0,a], tem-se
L = integral0^a 2,dt = 2a
Depois basta usar a=pi e a=2pi nos casos pedidos.

Resposta

Para tin[0,pi], L = 2pi. Para tin[0,2pi], L = 4pi.

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