Considere e .
Mostre , para todo . Existe alguma contradição com o que vimos em sala? Explique.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o Wronskiano de e é zero para todo , e discutir se isso contraria ou não o que vimos em sala (teorema de dependência linear via Wronskiano).
Passo 2
Lembrando a definição: para duas funções suficientemente diferenciáveis, o Wronskiano é
Passo 3
Calculamos as derivadas:
– Para y1(t)=t^2, temos y1'(t)=2t.
– Para y2(t)=t|t|, note que
• se t>0, y2(t)=t^2 e y2'(t)=2t,
• se t<0, y2(t)=-t^2 e y2'(t)=-2t,
• em t=0, as derivadas laterais valem zero, então y2'(0)=0.
Passo 4
Agora substituímos no Wronskiano em cada caso:
– Para t>0:
W(t)=t^2cdot(2t)-(2t)cdot t^2=2t^3-2t^3=0
– Para t<0:
W(t)=t^2cdot(-2t)-(2t)cdot(-t^2)=-2t^3+2t^3=0
– Em t=0: ambas as funções e suas derivadas valem zero, logo W(0)=0.
Isso mostra que W(t)=0 para todo t.
Passo 5
À primeira vista, o teorema diz que se duas soluções de uma EDO linear de segunda ordem têm Wronskiano identicamente nulo num intervalo, elas são linearmente dependentes nesse intervalo. Aqui, porém, y2(t) não é duas vezes diferenciável de forma contínua em t=0 (o segundo derivada tem descontinuidade de sinal), ou seja, não satisfaz as hipóteses de regularidade do teorema em todo R.
Assim, não há contradição: em cada intervalo t=0 e as funções são de fato proporcionais (dependentes), e o ponto quebra a continuidade do coeficiente exigida pelo teorema globalmente.
Resposta
O Wronskiano vale W(t)=0 para todo t, mas não há contradição com o teorema porque y2(t)=t|t| falha em ser duas vezes diferenciável continuamente em t=0, violando a hipótese de regularidade do resultado em todo o intervalo.