Use a transformada de Laplace para resolver os PVIs a seguir:
Passo 1
O enunciado pede pra gente resolver o problema de valor inicial (PVI)
y’’ - 5y’ + 6y = e^x, y(0) = 1, y’(0) = 1
usando a transformada de Laplace. O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem com termos constantes e forçamento e precisamos conhecer:
• Transformadas de y, y’ e y’’;
• Transformada de e^x;
• Propriedade linear da transformada;
• Técnica de frações parciais;
• Transformada inversa de Laplace.
• Transformadas de y, y’ e y’’;
• Transformada de e^x;
• Propriedade linear da transformada;
• Técnica de frações parciais;
• Transformada inversa de Laplace.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que
L
y’’ = s^2Y(s) - s y(0) - y’(0),
L
y’ = sY(s) - y(0),
L
{y } = Y(s),
L
e^x = 1/(s-1),
y’’ = s^2Y(s) - s y(0) - y’(0),
L
y’ = sY(s) - y(0),
L
{y } = Y(s),
L
e^x = 1/(s-1),
essas fórmulas levam a
L[y’’] - 5L[y’] + 6L[y] = L[e^x]
ou seja
(s^2Y - s·1 - 1) - 5(sY - 1) + 6Y = 1/(s-1).
Passo 3
Agora a gente junta termos semelhantes em Y(s) e os termos independentes de Y(s):
(s^2 - 5s + 6)Y(s) - s - 1 + 5 = 1/(s-1).
Como -1+5 = 4, temos
(s^2 - 5s + 6)Y(s) - s + 4 = 1/(s-1).
Isolando Y(s):
Y(s) = \frac{1/(s-1) + s - 4}{(s^2 - 5s + 6)}
e note que s^2 - 5s +6 = (s-2)(s-3).
Passo 4
Para pegar a transformada inversa, a gente decompõe Y(s) em frações parciais. Primeiro dividimos os termos:
Y(s) = \frac{s}{(s-2)(s-3)} - \frac{4}{(s-2)(s-3)} + \frac{1}{(s-1)(s-2)(s-3)}.
Fazendo frações parciais em cada pedaço chegamos a
\frac{s}{(s-2)(s-3)} = -\frac{2}{s-2} + \frac{3}{s-3},
-\frac{4}{(s-2)(s-3)} = \frac{4}{s-2} - \frac{4}{s-3},
\frac{1}{(s-1)(s-2)(s-3)} = \frac{1/2}{s-1} - \frac{1}{s-2} + \frac{1/2}{s-3}.
Somando tudo, os coeficientes se combinam e ficamos com
Y(s) = \frac{1/2}{s-1} + \frac{1}{s-2} - \frac{1/2}{s-3}.
Passo 5
Agora é só usar tabela de transformada inversa de Laplace termo a termo:
L^{-1}\bigl{1/(s-a)\bigr} = e^{ax}.
Logo
y(x) = \frac12 e^x + 1\cdot e^{2x} - \frac12 e^{3x}.
A gente pode checar as condições iniciais rapidamente: em x=0 dá 1/2+1-1/2 =1, e derivando dá y’(0)=1, tudo confere.
Resposta
y(x) = \tfrac12 e^x + e^{2x} - \tfrac12 e^{3x}