Determine a solução do PVI dado. Em cada caso, deixe claro qual o domínio da solução.
t^3 y^prime+4 t^2 y=e^-t e y(-1)=0.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar a solução do PVI t^3y'+4t^2y=e^-t com condição y(-1)=0. Isso é uma EDO linear de 1ª ordem, e vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão dividindo tudo por t^3 (lembrando que tneq0):
y'+4ty=e^-tt^3
Para EDOs lineares do tipo y'+P(t)y=Q(t), o fator integrante é
mu(t)=e^integral P(t),dt=e^integral 4tdt=e^4ln|t|=t^4

Passo 3

Multiplicamos a equação padrão por mu(t)=t^4. O lado esquerdo vira derivada exata:
t^4y'+4t^3y=e^-tt^3,t^4Longrightarrowddtl(t^4yr)=t e^-t
Agora integramos ambos os lados:
integral ddt(t^4y),dt=integral t e^-tdt
Usando integração por partes em integral t e^-tdt, obtemos
integral t e^-tdt=-(t+1)e^-t+C

Passo 4

Logo
t^4y=-(t+1)e^-t+C
e, isolando y,
y(t)=-(t+1)e^-tt^4+Ct^4
Agora aplicamos a condição inicial y(-1)=0:
0=-(-1+1)e^1(-1)^4+C(-1)^4=0+ CLongrightarrow C=0
Portanto a solução é
y(t)=-(t+1)e^-tt^4

Passo 5

O domínio da solução não pode incluir t=0 (singular da EDO) e deve conter t=-1. Por isso o domínio maximal que faz sentido é t<0, ou seja (-infty,0).

Resposta

A solução é y(t)=-(t+1)e^-tt^4, válida para t<0.

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