Determine a solução do PVI dado. Em cada caso, deixe claro qual o domínio da solução.
.
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar a solução do PVI
com condição
. Isso é uma EDO linear de 1ª ordem, e vamos usar o método do fator integrante para resolver.
Passo 2
Primeiro colocamos em forma padrão dividindo tudo por
(lembrando que
):
Para EDOs lineares do tipo
, o fator integrante é
Passo 3
Multiplicamos a equação padrão por
. O lado esquerdo vira derivada exata:
Agora integramos ambos os lados:
Usando integração por partes em
, obtemos
Passo 4
Logo
e, isolando
,
Agora aplicamos a condição inicial
:
Portanto a solução é
Passo 5
O domínio da solução não pode incluir
(singular da EDO) e deve conter
. Por isso o domínio maximal que faz sentido é
, ou seja
.
Resposta
A solução é
, válida para
.