Em cada caso, calcule o comprimento do arco indicado.
(d) x=y^32+16 y, 1 <= y <= 3.
( resp. raiz6(2+ln 3))

Passo 1

A questão pede calcular o comprimento do arco da curva definida por x = y^32 + 16y para 1 <= y <= 3. O conteúdo envolvido é comprimento de arco para curvas dadas por x=f(y) e vamos precisar da derivada dx/dy e da fórmula do comprimento de arco.

Passo 2

Derivando x = y^32 + 16y em relação a y, temos
dxdy = ddyl(tfracy^32r) + ddyl(tfrac16yr) = 3y^22 - 16y^2

Passo 3

A fórmula do comprimento de arco para uma curva x=f(y) em y=a até y=b é
L = integrala^b raiz1 + l(dxdyr)^2,dy

Passo 4

Substituindo dx/dy e simplificando o integrando, chegamos a
1 + l(dxdyr)^2 = 1 + l(tfrac3y^22 - tfrac16y^2r)^2 = (9y^4 + 1)^236y^4,
portanto
raiz1 + l(dxdyr)^2 = 9y^4 + 16y^2

Passo 5

O comprimento de arco fica
L = integral1^3 9y^4 + 16y^2,dy = 16integral1^3 l(9y^2 + y^-2r),dy

Passo 6

Integrando:
integral (9y^2 + y^-2),dy = 3y^3 - y^-1,
então
L = 16l[3y^3 - 1yr]1^3 = 16l( (81 - tfrac13) - (3 - 1)r) = 1189

Resposta

dfrac1189

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