Determine uma equação do plano tangente à superficie dada no ponto indicadao:
a) z=(x^2+y^2)^2.
P=(1,2,25)
b) z=4 x y.
P=(4,1 / 4,4)
c) z=sen x+sen 2 y+sen(3(x+y), P=(0,0,0)
d) z=arctan (xy) P=(4,4, pi / 4)

Passo 1

Neste exercício queremos determinar a equação do plano tangente à superfície definida por z = f(x,y) nos pontos indicados, usando derivadas parciais.

Passo 2

A fórmula geral do plano tangente a z = f(x,y) no ponto (x0,y0,z0) é:
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)

Passo 3

Para o item (a) temos f(x,y) = (x^2 + y2)2. Calculamos:
$$f_x = 4x(x^2 + y^2),
f_y = 4y(x^2 + y^2).$$
No ponto (1,2): fx = 4x(x^2 + y^2), fy = 4y(x^2 + y^2), então x^2+y^2=5 e fx(1,2)=4·1·5=20.

Passo 4

Para o item (b) f(x,y) = 4xy. Calculamos:
$$f_x = 4y,
f_y = 4x.$$
No ponto fx = 4y, fy = 4x: (4,tfrac14), fx=4·tfrac14=1.

Passo 5

No item © f(x,y)=\sin x + \sin(2y) + \sin\bigl(3(x+y)\bigr). Calculamos:
$$f_x = \cos x + 3\cos\bigl(3(x+y)\bigr),
f_y = 2\cos(2y) + 3\cos\bigl(3(x+y)\bigr).$$
Em (0,0): fx = cos x + 3cosl(3(x+y)r), fy = 2cos(2y) + 3cosl(3(x+y)r), fx=1+3=4.

Passo 6

Para o item (d) f(x,y)=\arctan\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr). Usamos derivada de arctan(u):
fx = 11+(x/y)^2cdot1y = yx^2+y^2, fy = 11+(x/y)^2cdotl(-xy^2r) = -xx^2+y^2
Em (4,4): fx=4/32=1/8, fy=-4/32=-1/8.

Resposta

a)
z - 25 = 20(x - 1) + 40(y - 2)
b)
z - 4 = 1,(x - 4) + 16l(y - tfrac14r)
c)
z = 4x + 5y
d)
z - tfracpi4 = tfrac18(x - 4) - tfrac18(y - 4)

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