Determine uma equação do plano tangente à superficie dada no ponto indicadao:
a)
.
b)
.
c)
d)
a)
d)
Passo 1
Neste exercício queremos determinar a equação do plano tangente à superfície definida por z = f(x,y) nos pontos indicados, usando derivadas parciais.
Passo 2
A fórmula geral do plano tangente a z = f(x,y) no ponto
é:
Passo 3
Para o item (a) temos f(x,y) = (x^2 + y2)2. Calculamos:
$$f_x = 4x(x^2 + y^2),
f_y = 4y(x^2 + y^2).$$
No ponto (1,2): , então
e
.
No ponto (1,2):
Passo 4
Para o item (b) f(x,y) = 4xy. Calculamos:
$$f_x = 4y,
f_y = 4x.$$
No ponto :
,
.
No ponto
Passo 5
No item © f(x,y)=\sin x + \sin(2y) + \sin\bigl(3(x+y)\bigr). Calculamos:
$$f_x = \cos x + 3\cos\bigl(3(x+y)\bigr),
f_y = 2\cos(2y) + 3\cos\bigl(3(x+y)\bigr).$$
Em (0,0): ,
.
Em (0,0):
Passo 6
Para o item (d) f(x,y)=\arctan\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr). Usamos derivada de arctan(u):
Em (4,4):
,
.
Resposta
a)
b)
c)
d)