Calcule as integrais utilizando frações parciais:
integral-1^0 x^2+7 x(x-1)(x+2)(x+3) d x
R: 1.035

Passo 1

A integral que a gente vai calcular é integral-1^0 x^2+7x(x-1)(x+2)(x+3),dx. O conteúdo é frações parciais para funções racionais, então vamos decompor o integrando em termos de logaritmos depois integrar.

Passo 2

Como o grau do numerador (2) é menor que o do denominador (3), não precisamos dividir polinômios. A gente supõe a decomposição em três termos:
x^2+7x(x-1)(x+2)(x+3)=Ax-1+Bx+2+Cx+3

Passo 3

Para encontrar A, B, C podemos usar o método do cover-up (ou comparar coeficientes). Plugando valores especiais:
  • Em x=1: A=1^2+7cdot1(1+2)(1+3)=812=tfrac23
  • Em x=-2: B=(-2)^2+7(-2)(-2-1)(-2+3)=4-14-3cdot1=tfrac103
  • Em x=-3: C=(-3)^2+7(-3)(-3-1)(-3+2)=9-21-4cdot(-1)=-3
    Então
x^2+7x(x-1)(x+2)(x+3)=2/3x-1+10/3x+2-3x+3

Passo 4

Reescrevendo a integral como soma, temos
integral-1^02/3x-1dx+integral-1^010/3x+2dx-integral-1^03x+3dx
Cada termo integra para logaritmo:
F(x)=23ln|x-1|+103ln|x+2|-3ln|x+3|

Passo 5

Agora aplicamos os limites de -1 a 0:
F(0)=103ln2-3ln3,
F(-1)=23ln2-3ln2=-73ln2
Então
integral-1^0=F(0)-F(-1)=103ln2-3ln3+73ln2=173ln2-3ln3

Passo 6

Podemos deixar em forma exata ou aproximar numericamente. Em forma exata ficou
173ln2-3ln3,
que vale aproximadamente 0,632.

Resposta

173ln2-3ln3approx0,632

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